Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 103 стр.

            Д о к а з а т е л ь с т в о: Предположим для определенности, что
 f ′′( x ) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.
            Возьмем на графике функции y=f(x) произвольную точку М0 с абсциссой
x 0 ∈ (a; b) и проведем через точку М0 касательную (рисунок 37). Ее уравнение
y = f ′( x 0 )( x − x 0 ) + f ( x 0 ) . Мы должны показать, что график функции на (a;b)
лежит ниже этой касательной, т.е. при одном и том же значении х ордината
кривой y=f(x) будет меньше ординаты касательной у .
                                y

                                                                 у=f(х)

                                                   M0


                                 0       a        x0                  b      x

                                             Рисунок 37

        Итак, уравнение кривой имеет вид y=f(x). Уравнение касательной
y = f ′( x 0 )( x − x 0 ) + f ( x 0 ) . Следовательно, разность ординат кривой и касатель-
ной при одном и том же значении х будет y − y = f ( x ) − f ( x 0 ) − f ′( x 0 )( x − x 0 ) .
        Разность f ( x) − f ( x 0 ) преобразуем по теореме Лагранжа

                                      f ( x) − f ( x 0 ) = f ′(c)( x − x 0 ) ,

где с – точка лежащая между х и х0.
        Таким образом, y − y = f ′(c)( x − x0 ) − f ′( x0 )( x − x0 ) = [ f ′(c) − f ′( x0 )]( x − x0 )
        К выражению, стоящему в квадратных скобках снова применим теорему
Лагранжа:
                                 y − y = f ′′(c1)(с − x0 )( х − х0 ) ,

где с1 – точка лежащая между с и х0. По условию теоремы f ′′( x) < 0 . Опреде-
лим знак произведения второго и третьего сомножителей.
         1. Предположим, что х > x0. Тогда х0 < С1 < C < х, следовательно,
(х − х 0 ) > 0 и (c − х0 ) > 0 . Поэтому y − y < 0 .
         2. Пусть х < x0, следовательно, x < c < c1 < x 0 и ( х − х 0 ) < 0 , (c − х 0 ) < 0 .
Поэтому вновь y − y < 0 .
         Таким образом, любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой
при всех значениях х и х0 ∈ (a; b), a это значит, что кривая выпукла. Вторая
часть теоремы доказывается аналогично. Ч.т.д.


                                                                                                   103