Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 102 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

102
25 Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
Определение: График функции y=f(x) называется выпуклым на интерва-
ле (а; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.
Определение: График функции y=f(x) называется вогнутым на интерва-
ле (а; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интерва-
ле.
На рисунке 35 показана кривая, выпуклая на (а; b) и вогнутая на (b; с).
Пример 85.
а) Полуокружность
2
1 xy −= выпукла на [-1; 1].
б) Парабола у=х
2
вогнута на интеграле
(
)
+
∞
∞
−
;
в) График функции в одних интервалах может быть выпуклым, а в дру-
гих вогнутым. Так график функции y=sin x на [0; 2π] – выпуклый в интер-
вале (0; π) и вогнутый – в интервале (π; 2 π) (рисунок 36).
Рассмотрим достаточный признак, позволяющий установить, будет ли
график функции в данном интеграле выпуклым или вогнутым.
Теорема 46. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a;b). Если во в всех точ-
ках интервала (a;b) вторая производная функции y=f(x) отрицательная, т.е.
()
0<
′′
xf , то график функции на этом интеграле выпуклый, если же
()
0>
′′
xf -
вогнутый.
a b c
x
y
Рисунок 35
Рисунок 36
1
x
х
-1
2
π
0
y
π
2
3
π
      25 Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба

        Определение: График функции y=f(x) называется выпуклым на интерва-
ле (а; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.
        Определение: График функции y=f(x) называется вогнутым на интерва-
ле (а; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интерва-
ле.
        На рисунке 35 показана кривая, выпуклая на (а; b) и вогнутая на (b; с).
                          y




                              a           b             c          x

                                    Рисунок 35
       Пример 85.
      а) Полуокружность y = 1 − x 2 выпукла на [-1; 1].
      б) Парабола у=х2 вогнута на интеграле (− ∞;+∞ )
      в) График функции в одних интервалах может быть выпуклым, а в дру-
    гих вогнутым. Так график функции y=sin x на [0; 2π] – выпуклый в интер-
    вале (0; π) и вогнутый – в интервале (π; 2 π) (рисунок 36).
      Рассмотрим достаточный признак, позволяющий установить, будет ли
график функции в данном интеграле выпуклым или вогнутым.
                        y



                          1
                                                            3π
                                              π              2 x       2π
                         0            π                                       х
                                      2
                        -1

                                     Рисунок 36
            Теорема 46. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a;b). Если во в всех точ-
ках интервала (a;b) вторая производная функции y=f(x) отрицательная, т.е.
 f ′′( x ) < 0 , то график функции на этом интеграле выпуклый, если же f ′′( x ) > 0 -
вогнутый.

102

Страницы