Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 104 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

104
Пример 86. а) Установить интервалы выпуклости и вогнутости кривой
у = 2 - х
2
.
Найдем у" и определим, где вторая производная положительна и где от-
рицательна: у' = -2х, у" = -2 < 0 на (-∞; +∞;), следовательно, функция всюду вы-
пукла (рисунок 38).
б) у=е
х
. Так как у"=е
х
>0 при любых х, то кривая всюду вогнута (рисунок
39).
в) у = х
3
. Так как у" = 6х, то у" < 0 при х < 0 и у" > 0 при х > 0. Следова-
тельно, при х < 0 кривая выпукла, а при х > 0 вогнута (рисунок 40).
Определение: Точка графика непрерывной функции, отделяющая его
выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.
Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пере-
секает кривую, т.к. с одной стороны от этой точки кривая лежит под касатель-
ной, а с другой стороны - над нею.
Определим достаточные условия того, что данная точка кривой является
точкой перегиба.
Теорема 47.
Пусть кривая определяется уравнением y=f(x). Если
f"(х
0
) = 0 или f"(х
0
) не существует, и при переходе через значение х = х
0
произ-
водная f"(х) меняет знак, то точка графика функции с абсциссой х=х
0
есть точка
перегиба.
Рисунок 40
у
=е
х
1
0
x
y
x
у
=х
3
0
y
у
=2-х
2
2
0
x
y
Рисунок 38
Рисунок 39
х
х
Рисунок 41
Рисунок 42
А
0
y
0
y
        Пример 86. а) Установить интервалы выпуклости и вогнутости кривой
у = 2 - х2.
        Найдем у" и определим, где вторая производная положительна и где от-
рицательна: у' = -2х, у" = -2 < 0 на (-∞; +∞;), следовательно, функция всюду вы-
пукла (рисунок 38).
        б) у=ех. Так как у"=ех>0 при любых х, то кривая всюду вогнута (рисунок
39).

            y                              y
            2
                                                                     y

                       у=2-х2
                                                   у=ех                     у=х3
                                               1
                                                                      0            x
            0                   x          0              x


          Рисунок 38                    Рисунок 39                Рисунок 40


        в) у = х3. Так как у" = 6х, то у" < 0 при х < 0 и у" > 0 при х > 0. Следова-
тельно, при х < 0 кривая выпукла, а при х > 0 вогнута (рисунок 40).
        Определение: Точка графика непрерывной функции, отделяющая его
выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.
        Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пере-
секает кривую, т.к. с одной стороны от этой точки кривая лежит под касатель-
ной, а с другой стороны - над нею.
        Определим достаточные условия того, что данная точка кривой является
точкой перегиба.
                y                                    y

                                                              А



                0                   х                0                х

                    Рисунок 41                       Рисунок 42

        Теорема 47. Пусть кривая определяется уравнением y=f(x). Если
f"(х0) = 0 или f"(х0) не существует, и при переходе через значение х = х0 произ-
водная f"(х) меняет знак, то точка графика функции с абсциссой х=х0 есть точка
перегиба.

104

Страницы