Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

101
Нам нужно максимизировать объем цилиндра h
r
V
2
π
=
.
Используя условие задачи, найдем связь между r и h. По теореме Пифа-
гора из треугольника АВС следует, что
222
44
r
h
R
+
=
. Отсюда
222
4
1
hRr −= .
.
3
2
,0;
4
3
.20,
4
1
4
1
22
3222
RhеслиVhRV
RhhhRhhRV
==
′
−=
′
≤≤−=
−=
ππ
πππ
Покажем, что при найденном значении h функция V принимает наи-
большее значение.
()
.0
16
27
2
3
,0
4
1
22
2
<π−π=
′
>π=
′
RRRV
RRV
Таким образом,
max
V при
,
3
2
Rh =
откуда
.
3
2
Rr =
+ –
0
R
3
2
2R h
B
A C
R
r
h
Рисунок 34 
       Нам нужно максимизировать объем цилиндра V = πr 2 h .

                                                      B
                                            R


                                                  h
                                        r

                           A                              C


                                    Рисунок 34

       Используя условие задачи, найдем связь между r и h. По теореме Пифа-
                                                                             1
гора из треугольника АВС следует, что 4 R 2 = h 2 + 4r 2 . Отсюда r 2 = R 2 − h 2 .
                                                                             4
                    1                1
       V = π  R 2 − h 2 h = πR 2 h − πh 3 , 0 ≤ h ≤ 2 R.
                    4                4
                    3                         2
       V ′ = πR 2 − πh 2 ; V ′ = 0, если h =     R.
                    4                          3
       Покажем, что при найденном значении h функция V принимает наи-
большее значение.


                                +                     –
                                       2
                      0                     R                 2R h
                                        3
               1 2
       V ′(R ) = πR > 0,
               4
          3            27 2
       V ′ R  = πR 2 −    πR < 0 .
          2            16
                                        2                       2
       Таким образом, Vmax при h =              R, откуда r =     R.
                                        3                       3




                                                                               101

Страницы