Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

99
24.1 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Определение:
Наибольшим значением функции на отрезке называется
самое большое из всех ее значений на этом отрезке, а наименьшим – самое ма-
ленькое из всех ее значений.
Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную на отрезке [a,b]. Как извест-
но, такая функция достигает своего наибольшего значения, либо на границе от-
резка, либо внутри его. Если наибольшее или наименьшее значение функции
достигается во внутренней точки отрезка, то это значение является максимумом
или минимумом функции, т.е. достигается в критических точках.
Таким образом, получаем следующее правило нахождения наибольшего
и наименьшего значений функции на отрезке [a,b].
1 Найти все критические точки функции в интервале (a,b) и вычислить
значения функции в этих точках.
2 Вычислить значения функции на концах отрезка при х = a, х = b.
3 Из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Пример 84.
1) Найти наибольшее и наименьшее значения функции
158
4
2
−−= x
x
y
на отрезке [–2; –0,5].
Найдем критические точки функции:
1,
88
8
8
3
3
3
−=
+
−=−−=
′
x
x
x
x
y .
Вычислим значения функции в найденной точке и на концах заданного отрезка:
() ( ) ( )
52/1,22,31 =−=−−=− fff .
Итак,
[]
(
)
[]
()
52/1)(max,31)(min
2/1;2
2/1;2
=−
=
−
=
−
=
−−∈
−−∈
fxffxf
x
x
.
2) Найти наибольшее и наименьшее значения функции
x
x
y ln2−= на
отрезке [1; е].
2,
22
1
1
=
−
=−=
′
x
x
x
x
y .
7.02)(,1)1(,6.02ln22)2(
≈
−
=
=
≈−= ee
f
f
f
6.0)2(,1)1(
наимнаиб
≈
=
== fyfy .
3) Чему равна наименьшая площадь боковой поверхности прямого кру-
гового конуса объема 3π?
rlS π=
бок
(l- длина образующей конуса) (рисунок 33).
Так как
,
3
1
2
hrV
k
π=
hh
V
r
93
2
=
π
= . 
      24.1 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

          Определение: Наибольшим значением функции на отрезке называется
самое большое из всех ее значений на этом отрезке, а наименьшим – самое ма-
ленькое из всех ее значений.
          Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную на отрезке [a,b]. Как извест-
но, такая функция достигает своего наибольшего значения, либо на границе от-
резка, либо внутри его. Если наибольшее или наименьшее значение функции
достигается во внутренней точки отрезка, то это значение является максимумом
или минимумом функции, т.е. достигается в критических точках.
          Таким образом, получаем следующее правило нахождения наибольшего
и наименьшего значений функции на отрезке [a,b].
          1 Найти все критические точки функции в интервале (a,b) и вычислить
              значения функции в этих точках.
          2 Вычислить значения функции на концах отрезка при х = a, х = b.
          3 Из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
          Пример 84.
                                                                               4
          1) Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = 2 − 8 x − 15
                                                                              x
на отрезке [–2; –0,5].
                                                                        8 8 + 8x 3
          Найдем критические точки функции: y ′ = − 3 − 8 = −                      , x = −1 .
                                                                        x    x3
Вычислим значения функции в найденной точке и на концах заданного отрезка:
 f (− 1) = −3, f (− 2 ) = 2, f (− 1 / 2 ) = 5 .
             Итак, min f ( x) = f (− 1) = −3, max f ( x) = f (− 1 / 2 ) = 5 .
                      x∈[− 2; −1 / 2 ]                 x∈[− 2; −1 / 2 ]
          2) Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = x − 2 ln x на
отрезке [1; е].
                        2 x−2
              y′ = 1 − =               , x1 = 2 .
                        x          x
             f (2) = 2 − 2 ln 2 ≈ 0.6, f (1) = 1, f (e) = e − 2 ≈ 0.7
              y наиб = f (1) = 1, y наим = f (2) ≈ 0.6 .
          3) Чему равна наименьшая площадь боковой поверхности прямого кру-
гового конуса объема 3π?
              S бок = πrl (l- длина образующей конуса) (рисунок 33).
                             1                  3V 9
          Так как Vk = πr 2 h, r 2 =              = .
                             3                  πh h




                                                                                          99

Страницы