Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

98
б) Найти все значения х
∈
ОДЗ, при которых производная )(xf
′
не
существует.
4 Определить знак производной слева и справа от критической точки.
Так как знак производной остается постоянным между двумя крити-
ческими точками, то достаточно определить знак производной в ка-
кой-либо одной точке слева и в одной точке справа от критической
точки.
Сделать вывод о наличии точек экстремума.
5 Вычислить значение функции в точках экстремума.
Пример 83. Исследовать функции на минимум и максимум.
1
()
3
2
1 xxy −= .
Область определения функции D(y)=R. Найдем производную заданной
функции:
()
33
3
25
3
2
1
3
2
x
x
x
xxy
−
=−+=
′
Определим критические точки:
5
2
,0
3
25
1
3
==
−
x
x
x
. Производная не суще-
ствует при 0
2
=x . Следовательно, критические точки: 0 и 2/5. Нанесем их на
числовую ось и определим знак производной на каждом из полученных проме-
жутков:
() ()
01,0
5
1
,01 ><
>− fff .
Итак, 0)0(
max
== fy ,
33
min
25
4
5
3
25
4
1
5
2
5
2
⋅−=
−=
= fy .
2
()()
+∞−∪−∞−=
+
−
= ;11;)(.
1
3
2
yD
x
x
y ,
() ()
32
1
3
8
1
31
1
3
2
+
−
=
+
+−+
⋅
+
−
=
′
x
x
x
xx
x
x
y .
Критическая точка функции х=3. Точка х= –1 не входит в область опре-
деления функции. .0)3(
min
== fy
+ – +
0
5
2
max min
x
+ – +
х
-1
3
min 
         б) Найти все значения х∈ ОДЗ, при которых производная f ′(x) не
         существует.
       4 Определить знак производной слева и справа от критической точки.
         Так как знак производной остается постоянным между двумя крити-
         ческими точками, то достаточно определить знак производной в ка-
         кой-либо одной точке слева и в одной точке справа от критической
         точки.
         Сделать вывод о наличии точек экстремума.
       5 Вычислить значение функции в точках экстремума.
       Пример 83. Исследовать функции на минимум и максимум.
       1 y = ( x − 1)3 x 2 .
       Область определения функции D(y)=R. Найдем производную заданной
                              2     5x − 2
функции: y ′ = x 3 + ( x − 1) 3 = 3
                  2

                             3 x      3 x
                                            5x − 2          2
       Определим критические точки: 3              = 0, x1 = . Производная не суще-
                                             3 x            5
ствует при x 2 = 0 . Следовательно, критические точки: 0 и 2/5. Нанесем их на
числовую ось и определим знак производной на каждом из полученных проме-
                        1
жутков: f (− 1) > 0, f   < 0, f (1) > 0 .
                        5


                            +              –                +
                                                      2           x
                                  0
                                                      5
                              max                  min
                                                     2 2  4         3   4
           Итак, y max = f (0) = 0 , y min     = f   =  − 1 3   = − ⋅3   .
                                                    5   5  25      5 25
                    2
             x − 3                                           x − 3  x +1 − x + 3      x −3
       2 y =        . D( y) = (− ∞;−1) ∪ (−1;+∞),     y′ = 2       ⋅             = 8         .
             x + 1                                           x + 1  ( x +1) 2
                                                                                         (x +1)3




                             +                 –             +
                                                                        х
                                   -1                   3
                                                      min


       Критическая точка функции х=3. Точка х= –1 не входит в область опре-
деления функции. y min = f (3) = 0.




98

Страницы