Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 96 стр.

минимума. Действительно, f(x) = 0 и при x < 0 f(x) < 0, а при x >0 f(x) > 0. (ри-
сунок 31а)
      Таким образом, из приведенных примеров и сформулированной теоремы
видно, что функция может иметь экстремум лишь в двух случаях: 1) в точках,
где производная существует и равна нулю; 2) в точке, где производная не су-
ществует.
      Однако, если в некоторой точке х0 мы знаем, что f ′( x 0 ) = 0 , то отсюда
нельзя делать вывод, что в точке х0 функция имеет экстремум.
      Например, функция y = x 3 . y ′ = 3 x 2 при x = 0 y ′ = 0 (рисунок 31б).
                 у                                   у




                   0               х                    0              х



             а)                                                 б)
                                  Рисунок 31
        Но точка х=0 не является точкой экстремума, поскольку слева от этой
точки значения функции расположены ниже оси Ох, а справа выше.
        Определение: Значения аргумента из области определения функции, при
которых производная функции обращается в нуль или не существует, называ-
ются критическими точками.
        Из всего вышесказанного следует, что точки экстремума функции нахо-
дится среди критических точек, однако, не всякая критическая точка является
точкой экстремума. Поэтому, чтобы найти экстремум функции, нужно найти
все критические точки функции, а затем каждую из этих точек исследовать от-
дельно на максимум и минимум. Для этого служит следующая теорема.
        Теорема 45 (достаточное условие существования экстремума). Пусть
функция непрерывна на некотором интервале, содержащем критическую точку
х0, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, са-
мой точки х0). Если при переходе слева направо через эту точку производная
меняет знак с плюса на минус, то в точке х = х0 функция имеет максимум. Если
же при переходе через х0 слева направо производная меняет знак с минуса на
плюс, то функция имеет в этой точке минимум.
       Таким образом, если
        а) f ′( x ) > 0 при x < x0 и f ′( x ) < 0 при x > x0, то х0 – точка максимума;
        б) f ′( x ) < 0 при x < x0 и f ′( x ) > 0 при x > x0, то х0 – точка минимума.
        Д о к а з а т е л ь с т в о: Предположим сначала, что при переходе через
х0 производная меняет знак с плюса на минус, т.е. при всех х, близких к точке



96