Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

94
24 Экстремумы функции
Рассмотрим график непрерывной функции y=f(x), изображенной на ри-
сунке 29. Значение функции в точке х
1
будет больше значений функции во всех
достаточно близких соседних точках как слева, так и справа от х
1
. В этом слу-
чае говорят, что функция имеет в точке х
1
максимум. В точке х
3
функция, оче-
видно, также имеет максимум. Если рассмотреть точку х
2
, то соответствующее
ей значение функции меньше всех соседних значений. В этом случае говорят,
что функция имеет в точке х
2
минимум. Аналогичное справедливо для точки х
4
.
Определение: Функция y=f(x) в точке х
0
имеет максимум, если значение
функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках некоторого ин-
тервала, содержащего точку х
0
, т.е. если существует такая окрестность точки х
0
,
что для всех
0
хх ≠ , принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенст-
во f(x) < f(x
0
).
Определение: Функция y=f(x) имеет минимум в точке х
0
, если существу-
ет такая окрестность точки х
0
, что для всех
0
хх
≠
, принадлежащих этой окре-
стности, имеет место неравенство f(x) > f(x
0
).
Определение: Точки, в которых функция достигает максимума или ми-
нимума, называются точками экстремума, а значения функции в этих точках –
экстремумами функции.
Обратим внимание на то, что функция, определенная на отрезке, может
достигать максимума и минимума только в точках, заключенных внутри рас-
сматриваемого отрезка.
Отметим, что если функция имеет в некоторой точке максимум, то это
не означает, что в этой точке функция принимает наибольшее значение на всей
области определения. На рисунке 29 функция в точке х
1
имеет максимум, хотя
есть точки, в которых значения функции больше, чем в точке х
1
. В частности,
минимум функции больше максимума. Из определения максимума следует
только, что это самое большое значение функции в точках, достаточно близких
к точке максимума.
у
0 а х
1
х
2
х
3
х
4
b х
Рисунок 29 
     24 Экстремумы функции

       Рассмотрим график непрерывной функции y=f(x), изображенной на ри-
сунке 29. Значение функции в точке х1 будет больше значений функции во всех
достаточно близких соседних точках как слева, так и справа от х1. В этом слу-
чае говорят, что функция имеет в точке х1 максимум. В точке х3 функция, оче-
видно, также имеет максимум. Если рассмотреть точку х2, то соответствующее
ей значение функции меньше всех соседних значений. В этом случае говорят,
что функция имеет в точке х2 минимум. Аналогичное справедливо для точки х4.

                       у




                      0    а   х1   х2       х3 х4 b    х

                                Рисунок 29

        Определение: Функция y=f(x) в точке х0 имеет максимум, если значение
функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках некоторого ин-
тервала, содержащего точку х0, т.е. если существует такая окрестность точки х0,
что для всех х ≠ х 0 , принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенст-
во f(x) < f(x0).

       Определение: Функция y=f(x) имеет минимум в точке х0, если существу-
ет такая окрестность точки х0, что для всех х ≠ х 0 , принадлежащих этой окре-
стности, имеет место неравенство f(x) > f(x0).
       Определение: Точки, в которых функция достигает максимума или ми-
нимума, называются точками экстремума, а значения функции в этих точках –
экстремумами функции.
       Обратим внимание на то, что функция, определенная на отрезке, может
достигать максимума и минимума только в точках, заключенных внутри рас-
сматриваемого отрезка.
       Отметим, что если функция имеет в некоторой точке максимум, то это
не означает, что в этой точке функция принимает наибольшее значение на всей
области определения. На рисунке 29 функция в точке х1 имеет максимум, хотя
есть точки, в которых значения функции больше, чем в точке х1. В частности,
минимум функции больше максимума. Из определения максимума следует
только, что это самое большое значение функции в точках, достаточно близких
к точке максимума.


94

Страницы