Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 95 стр.

          Теорема 44 (необходимое условие существования экстремума). Если
дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке х=х0 экстремум, то ее произ-
водная в этой точке обращается в нуль.
          Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть для определенности в точке х0 функция
имеет максимум. Тогда при достаточно малых приращениях ∆х имеем
 f ( x 0 + ∆x ) < f ( x 0 ) , т.е. f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) < 0 . Но тогда
        f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 )                f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 )
                                   > 0 при ∆x < 0                            < 0 при ∆x > 0 .
                  ∆x                                        ∆x
       Переходя в этих неравенствах к пределу при ∆x → 0 и учитывая, что
производная f ′( x 0 ) существует, а следовательно предел, стоящий слева, не за-
висит от того как ∆x → 0 , получаем: при ∆x → 0 − 0 f ′( x 0 ) ≥ 0 , а при
∆x → 0 + 0 f ′( x 0 ) ≤ 0 . Так как f ′( x 0 ) определяет число, то эти два неравенства
совместны только в том случае, когда f ′( x 0 )=0.
       Доказанная теорема утверждает, что точки максимума и минимума мо-
гут находится только среди тех значений аргумента, в которых производная
обращается в нуль.
       Мы рассмотрели случай, когда функция во всех точках некоторого от-
резка имеет производную. Как же обстоит дело в тех случаях, когда производ-
ная не существует?
       Пример 82.
       а) y = x . Функция не имеет производной в точке х=0 (в этой точке гра-
фик функции не имеет определенной касательной), но в этой точке функция
имеет минимум, так как у(0)=0, а при всех х ≠ 0 у > 0 .
        б) Функция y = 1 − 3 x 2 (рисунок 30) не имеет производной при х=0, так
             2
как y ′ = − 3 обращается в бесконечность при х=0. Но в этой точке функция
            3 x
имеет максимум.
                                      у
                                              1




                                       -1     0      1       х

                                            Рисунок 30

        в)           Функция   y = 3 x не    имеет   производной   при    х=0,    так    как
        1
y′ =        2
                    → ∞ при x → 0 . В этой точке функция не имеет ни максимума, ни
       3x       3




                                                                                          95