Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

97
()
0
0
>
′
xfх для 0)(,
0
<
′
< xfxх для x > x
0
. По теореме Лагранжа
()
(
)
00
)()( xxcfxfxf −
′
=− , где точка с лежит между х и х
0
.
1 Пусть x < x
0
. Тогда c < x
0
и 0)( >
′
cf . Поэтому
()
0)(
0
<
−
′
xxcf и,
следовательно,
(
)
0)(
0
<
− xfxf , т.е.
(
)
0
)( xfxf
<
.
2 Пусть x > x
0
. Тогда c > x
0
и 0)(
<
′
cf . Значит
()
0)(
0
<−
′
xxcf . По-
этому
()
0)(
0
<− xfxf , т.е.
(
)
0
)( xfxf
<
.
Таким образом, для всех значений х достаточно близких к
()
00
)(, xfxfx < . А это значит, что в точке х
0
функция имеет максимум.
Аналогично доказывается вторая часть теоремы – о точке минимума.
Ч.т.д. Проиллюстрируем смысл этой теоремы (рисунок 32).
Пусть
()
0
1
=
′
xf и для любых х, достаточно близких к х
1
, выполняются
неравенства 0)( <
′
xf при 0)(,
1
>
′
< xfxx при х > x
1
. Тогда слева от точки х
1
функция возрастает, а справа убывает, следовательно, при х = х
1
функция пере-
ходит от возрастания к убыванию, т.е. имеет максимум.
Аналогично рассуждая можно сделать вывод, что точка х
2
является точ-
кой минимума, а х
3
– не точка экстремума.
Все вышесказанное можно изобразить на схеме:
Правило исследования функции y=f(x) на экстремум:
1 Найти область определения функции f(x).
2 Найти первую производную функцию )(xf
′
.
3 Определить критические точки, для этого:
а) Найти действительные корни уравнения 0)(
=
′
xf .
+ – + +
f
(x) x
1
x
2
x
3
max min нет тах
)(xf
′
Рисунок 32
у
0 х
1
х
2
х
3
х
х 0 f ′( x ) > 0 для х < x 0 , f ′( x) < 0 для x > x0. По теореме Лагранжа
f ( x) − f ( x 0 ) = f ′(c)( x − x 0 ) , где точка с лежит между х и х0.
          1 Пусть x < x0. Тогда c < x0 и f ′(c) > 0 . Поэтому f ′(c)( x − x 0 ) < 0 и,
              следовательно, f ( x) − f ( x 0 ) < 0 , т.е. f ( x) < f ( x 0 ).
          2 Пусть x > x0. Тогда c > x0 и f ′(c) < 0 . Значит f ′(c)( x − x 0 ) < 0 . По-
              этому f ( x) − f ( x 0 ) < 0 , т.е. f ( x) < f ( x 0 ).
          Таким образом, для всех значений х достаточно близких к
x 0 , f ( x) < f ( x 0 ). А это значит, что в точке х0 функция имеет максимум.
          Аналогично доказывается вторая часть теоремы – о точке минимума.
Ч.т.д. Проиллюстрируем смысл этой теоремы (рисунок 32).
                            у




                            0         х1       х2       х3         х

                                           Рисунок 32

       Пусть f ′( x1 ) = 0 и для любых х, достаточно близких к х1, выполняются
неравенства f ′( x) < 0 при x < x1 , f ′( x) > 0 при х > x1. Тогда слева от точки х1
функция возрастает, а справа убывает, следовательно, при х = х1 функция пере-
ходит от возрастания к убыванию, т.е. имеет максимум.
       Аналогично рассуждая можно сделать вывод, что точка х2 является точ-
кой минимума, а х3 – не точка экстремума.
       Все вышесказанное можно изобразить на схеме:



                  f ′(x)   +           –            +         +
                   f(x)         x1           x2         x3
                                max          min        нет       тах


       Правило исследования функции y=f(x) на экстремум:

       1 Найти область определения функции f(x).
       2 Найти первую производную функцию f ′(x) .
       3 Определить критические точки, для этого:
         а) Найти действительные корни уравнения f ′( x) = 0 .

                                                                                     97

Страницы