Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 108 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

108
Так как φ – постоянный угол
(
)
2/
π
≠
ϕ
, то
0lim =
+∞→
MN
x
, но
)()( bkxxfyyNКMKMN
кac
+
−
=
−
=−= .
Следовательно, мы можем записать следующее равенство:
[]
0
)(
lim)()(lim =
−−=+−
+∞→+∞→
x
b
k
x
xf
xbkxxf
xx
Так как х→+∞, то должно выполняться равенство
0
)(
lim =
−−
+∞→
x
b
k
x
xf
x
. Но при постоянных k и b 0lim =
+∞→
x
b
x
и
kk
x
=
+∞→
lim
.
Следовательно,
0
)(
lim =−
+∞→
k
x
xf
x
, т.е.
x
xf
k
x
)(
lim
+∞→
= .
Если число k уже известно, то
[
]
0)(lim =−
−
+∞→
bkxxf
x
, поэтому
[]
kxxfb
x
−=
+∞→
)(lim
.
Для доказательства в случае х→ – ∞ все рассуждения аналогичны.
Докажем обратное утверждение. Предположим, что существуют преде-
лы, определяющие числа k и b. Тогда несложно заменить, что выполняется
равенство
[]
0)()(lim =+
−
+∞→
bkxxf
x
. Действительно,
[]
0)(lim)(lim
)(
limlim)(lim
)(
lim)(lim)()(lim
=
−=
=
−+−=+−
+∞→+∞→
+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→
xfxf
x
xf
xxf
x
xf
xxfbkxxf
xx
xxxxxx
Следовательно, прямая y=kx+b есть асимптота. Теорема полностью до-
казана. Ч.т.д.
Сделаем несколько замечаний.
Замечание 1. Теорема показывает, что для нахождения асимптот нужно
найти два указанных предела. Причем, если хотя бы один из пределов не суще-
ствует или обращается в бесконечность, то кривая асимптот не имеет.
Замечание 2.
В случае, когда k=0 асимптота y=b называется горизон-
тальной асимптотой. Наличие горизонтальной асимптоты означает, что суще-
ствуют пределы
bxf
x
=
+∞→
)(lim
или
bxf
x
=
−∞→
)(lim
.
Замечание 3.
Пределы для отыскания k и b могут быть различны при
х→+∞ и х→ – ∞ и, следовательно, график функции может иметь две различные
асимптоты при х→+∞ и х→ – ∞.
Пример 89. Найти асимптоты кривых.
1)
х
хх
у
12
2
−+
=
а) Вертикальные:
+∞=
−+
+∞=
−+
+→−→
x
xx
x
xx
xx
12
lim,
12
lim
2
00
2
00
. 
          Так как φ – постоянный угол                      (ϕ ≠ π / 2 ) ,   то   lim MN = 0 , но
                                                                                 x → +∞
MN = MK − NК = y − y кac = f ( x) − (kx + b) .
     Следовательно, мы можем записать следующее равенство:

                                                               f ( x)     b
                             lim [ f ( x) − (kx + b)] = lim x         −k − =0
                            x → +∞                     x → +∞  x          x

         Так        как     х→+∞,           то      должно        выполняться   равенство
        f ( x)       b                                                   b
 lim           − k −  = 0 . Но при постоянных k и b lim = 0 и lim k = k .
x → +∞  x            x                                            x → +∞ x  x → +∞
                           f ( x)                          f ( x)
Следовательно, lim                 − k = 0 , т.е. k = lim         .
                     x → +∞ x                        x → +∞ x
         Если число k             уже известно, то lim [ f ( x) − kx − b] = 0 , поэтому
                                                             x → +∞
b = lim [ f ( x) − kx] .
      x → +∞
       Для доказательства в случае х→ – ∞ все рассуждения аналогичны.
      Докажем обратное утверждение. Предположим, что существуют преде-
лы, определяющие числа k и b. Тогда несложно заменить, что выполняется
равенство lim [ f ( x) − (kx + b)] = 0 . Действительно,
               x → +∞
                                                         f (x)                           f (x) 
         lim [ f (x) − (kx + b)] = lim  f (x) −  x lim        + lim f (x) − lim  x lim         =
        x→+∞                      x→+∞             x→ +∞   x    x→ +∞       x→ +∞  x→ +∞   x   

        = lim  f (x) − lim f (x) = 0
          x→+∞         x→+∞       
       Следовательно, прямая y=kx+b есть асимптота. Теорема полностью до-
казана. Ч.т.д.
       Сделаем несколько замечаний.
       Замечание 1. Теорема показывает, что для нахождения асимптот нужно
найти два указанных предела. Причем, если хотя бы один из пределов не суще-
ствует или обращается в бесконечность, то кривая асимптот не имеет.
       Замечание 2. В случае, когда k=0 асимптота y=b называется горизон-
тальной асимптотой. Наличие горизонтальной асимптоты означает, что суще-
ствуют пределы lim f ( x) = b или lim f ( x) = b .
                        x → +∞               x → −∞
      Замечание 3. Пределы для отыскания k и b могут быть различны при
х→+∞ и х→ – ∞ и, следовательно, график функции может иметь две различные
асимптоты при х→+∞ и х→ – ∞.
      Пример 89. Найти асимптоты кривых.
             х 2 + 2х − 1
      1) у =
                   х
                                   x 2 + 2x − 1               x 2 + 2x − 1
         а) Вертикальные: lim                   = +∞, lim                  = +∞ .
                          x →0 − 0       x           x →0 + 0       x

108

Страницы