Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 110 стр.

      27 Общая схема исследования функции и построения графиков

       1 а) Найти ОДЗ и точки разрыва функции;
          б) Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
       2 Найти асимптоты графика функции:
          а) вертикальные;
          б) наклонные.
       3 Провести исследование функции с помощью первой производно, т.е.
найти точки экстремума функции и интегралы возрастания и убывания.
       4 Исследовать функцию с помощью производной второго порядка, т.е.
найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнуто-
сти.
       5 На основании проведенного исследования построить график функции.
       Заметим, что перед построением графика полезно установить, не являет-
ся ли данная функция четной или нечетной.
       Напомним, что функция называется четной, если при изменении знака
аргумента значение функции не меняется: f(–x) = f(x), и функция называется не-
четной, если f(–x) = – f(x).
       В этом случае достаточно исследовать функцию и построить ее график
при положительных значениях аргумента, принадлежащих ОДЗ. При отрица-
тельных значениях аргумента, график достраивается на том основании, что для
четной функции он симметричен относительно оси Оу, а для нечетной относи-
тельно начала координат.
       Пример 90. Исследовать функции и построить графики следующих
функций:
               1
                 (
        1 y = x 3 + 9 x 2 + 15 x − 9 .
               4
                                      )
       1) Областью определения данной функции являются все действительные
значения аргумента х, то есть D( y ) : x ∈ (− ∞;+∞ ) , а это значит, что функция не-
прерывна на всей числовой прямой и ее график не имеет вертикальных асим-
птот.
       2) Исследуем функцию на экстремум и найдём интервалы монотонно-
сти. С этой целью вычислим ее производную и решим уравнение у ′ = 0 :
                         1
                                (         )
                    y ′ = 3 x 2 + 18 x + 15 ; x 2 + 6 x + 5 = 0.
                         4
Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том, что функция
имеет две критические точки: x1 = −5, x 2 = −1. Разбиваем область определения
этими точками на части и по изменению знака производной в них выявляем
промежутки монотонности и наличие экстремума:

         x           (− ∞,−5)       –5        (− 5,−1)      –1        (− 1,+∞ )
      f ′( x )          +            0           –           0           +
       f (x )                       max                     min


110