Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 50 стр.

      9 Непрерывность некоторых элементарных функций

      9.1 Непрерывность рациональных функций

       Простейшим примером функции, непрерывной в любой точке x0 число-
вой прямой, может служить постоянная функция f ( x) = C. Действительно, в
этом случае lim f ( x) = C = f ( x 0 ), т.е. постоянная функция непрерывна в каж-
              x → x0
дой точке числовой прямой.
          Непрерывна также в каждой точке x 0 числовой прямой функция
 f ( x) = x, так как lim x = x0 = f ( x0 ), т.е. предел функции в точке x0 равен её
                       x → x0
значению в этой точке. Из сказанного и теоремы следует, что в любой точке x 0
функции x2 = x ⋅ x, x3 = x2 ⋅ x, x4 = x3 ⋅ x, ...., xn = xn−1 ⋅ x (n –натуральное число)
непрерывны. Как известно, функция f ( x) = x n называется степенной, а функ-
ция вида
                  P( x) = C 0 x n + C1 x n −1 + C 2 x n −2 + ... + C n −1 x + C n ,

где n ≥ 0 - целое число; С 0 , С1 , С 2 , ..., С n − любые числа, - алгебраи-
ческим многочленом.
      Каждое из слагаемых
                      C 0 x n , C1 x n −1 , C 2 x n − 2 ,..., C n −1 x, C n
есть произведение двух непрерывных функций (постоянной и степенной). По
теореме (п. 8) оно непрерывно в любой точке x. Многочлен Р(х) является, та-
ким образом, суммой функций, непрерывных в любой точке x, и, следователь-
но, непрерывен в любой точке x∈ R .
     Дробно-рациональная функция, т. е. функция вида

                                                 P ( x)
                                       R( x) =          ,
                                                 Q( x)

где P(x) и Q(x) - алгебраические многочлены, непрерывна во всех таких точках
x, в которых её знаменатель не равен нулю (т. е. во всех точках, за исключени-
ем корней знаменателя), как частное непрерывных функций.
        Например, функция R( x) = (3x 2 + 7 x − 1) /( x 2 − 1) непрерывна во всех
точках х, отличных от - 1 и +1.

      9.2 Непрерывность тригонометрических функций

       Рассмотрим тригонометрические функции sin x, cos x, tg x, ctg x, sec x,
cosec x. Покажем, что функция sin x непрерывна в любой точке х. Воспользу-


50