Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

48
8 Понятие непрерывности функции
Определение:
Функция f(x) называется непрерывной в точке х
0
, если
предел функции и её значение в этой точке равны, т. е.
).()(lim
0
0
xfxf
xx
=
→
(11)
Другими словами:
Функция )(
x
f
называется непрерывной в точке
0
x , если она удовлетво-
ряет следующим трём условиям:
1) определена в точке
0
x (т. е. существует )(
0
xf );
2) имеет конечный предел при
0
хх → )(lim
0
xf
xx→
;
3) этот предел равен значению функции в точке
0
x , т. е.
).()(lim
0
0
xfxf
xx
=
→
Так как ,lim
0
0
xx
xx
=
→
то соотношение (11) можно записать в виде:
()
=
→→
xfxf
xxxx
00
limlim
т.е. для непрерывной функции можно переставить знак функции и знак
предела.
Можно привести равносильное определение непрерывности функции
«на языке последовательностей»: функция f(x) называется непрерывной в точке
x
0
, если для любой последовательности значений аргумента х: х
1
, х
2
, х
3
, …, х
n
,
…, сходящейся к х
0
, последовательность соответствующих значений функции:
f(х
1
), f(х
2
), f(х
3
), …, f(х
n
), … сходится к f(х
0
).
Сформулируем определение непрерывности функции «на языке
δ
−
ε ».
Определение: Функция f(x) называется непрерывной в точке х
0
, если
для любого 0>ε существует 0>δ такое, что для всех х, удовлетворяющих нера-
венству
,
0
δ<− xx выполняется неравенство .()(
0
ε
<
−
xfxf
Данные определения эквивалентны следующей записи, использующие
логические символы:
)0( >ε∀ )0( >∃
δ
),(
0
δ
<
−
∈∀ xxXx : .()(
0
ε
<
−
xfxf
Если )()(lim
0
0
xfxf
xx
=
+→
,)()(lim
0
0
=
−→
xfxf
xx
то функцию f(x) называют
непрерывной в точке х
0
справа (слева). Если функция f(x) непрерывна в точке
х
0
и слева и справа, то она непрерывна в этой точке.
Можно привести еще одно определение непрерывности функции, кото-
рое является перефразировкой первого определения. Так как условия
0
xx → и
0
0
→− xx равносильны, то получаем 
        8 Понятие непрерывности функции

      Определение: Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если
предел функции и её значение в этой точке равны, т. е.

                                      lim f ( x) = f ( x0 ).                      (11)
                                      x → x0
       Другими словами:
       Функция f (x) называется непрерывной в точке x 0 , если она удовлетво-
ряет следующим трём условиям:
   1) определена в точке x0 (т. е. существует f ( x0 ) );
   2) имеет конечный предел при х → х 0 lim f ( x) ;
                                                x→ x0
     3) этот предел равен значению функции в точке x 0 , т. е.

                                    lim f ( x) = f ( x0 ).
                                   x → x0

         Так как lim x = x 0 , то соотношение (11) можно записать в виде:
                  x → x0

                                                             
                                     lim f ( x ) = f  lim x 
                                    x → x0            x → x0 
         т.е. для непрерывной функции можно переставить знак функции и знак
предела.
         Можно привести равносильное определение непрерывности функции
«на языке последовательностей»: функция f(x) называется непрерывной в точке
x0, если для любой последовательности значений аргумента х: х1, х2, х3, …, хn,
…, сходящейся к х0, последовательность соответствующих значений функции:
f(х1), f(х2), f(х3), …, f(хn), … сходится к f(х0).
         Сформулируем определение непрерывности функции «на языке ε − δ ».
         Определение: Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если
для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих нера-
венству x − x0 < δ, выполняется неравенство f ( x) − f ( x0 < ε.
         Данные определения эквивалентны следующей записи, использующие
логические символы:
          (∀ε > 0) ( ∃δ > 0 ) (∀x ∈ X , x − x0 < δ) : f ( x) − f ( x0 < ε.
                                                            
        Если lim f ( x) = f ( x0 )  lim f ( x) = f ( x0 ) , то функцию f(x) называют
              x → x0 +               x → x0 −               
непрерывной в точке х0 справа (слева). Если функция f(x) непрерывна в точке
х0 и слева и справа, то она непрерывна в этой точке.
        Можно привести еще одно определение непрерывности функции, кото-
рое является перефразировкой первого определения. Так как условия x → x0 и
x − x0 → 0 равносильны, то получаем

48

Страницы