Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 46 стр.

     Пример 45.
                                                           2 sin x ⋅ cos x ⋅ cos x  0 
     lim sin 2 x ⋅ ctgx = [0 ⋅ ∞] = lim                                           =   = lim 2 cos 2 x = 2 .
     x→π                                              x →π          sin x            0  x→π

     IV. Неопределенность ∞ –∞.

     Пример 46.

               (                   + 5 х ) = [∞ − ∞] = lim
                                                           (х −                                           )(
                                                                                      х 2 + 5х х + х 2 + 5х                  )=
                                                                                       (х +                          )
                               2
      lim х − х
      x → +∞                                                   x → +∞
                                                                                                      х 2 + 5х
                                   − 5х   ∞           −5                                                     −5
        = lim
            x → +∞
                           (                     )
                                        =   = lim
                           х + х 2 + 5 х  ∞  x →+∞ 1 + 1 +                (                 5
                                                                                              x
                                                                                                  )
                                                                                                      =
                                                                                                               1+1
                                                                                                                   = −2,5.

     Пример 47.
         3       1                            3            1            3 −1− x − x2
               −        = [∞ − ∞] =                      −        =                      =
     lim             
     x→11 − x3 1 − x 
                                    lim
                                    x→1
                                        (1− x) 1+ x + x
                                                        2
                                                            1 − x 
                                                                   ( lim
                                                                      x→1               )
                                                                          (1− x) 1+ x + x2
                                                                                                                         (        )
                   2 − x − x2                         − ( x −1)( x + 2)                     (x + 2)
     = lim                                   = lim                              = lim                           =1
       x→1    (1− x)(1+ x + x        2
                                         )    x→1    (1− x)(1+ x + x    2
                                                                            )       x→1 1 + x + x2


     Пример 48.
      lim
     x → −∞
              (x       2
                                     )
                           + 1 − x = [∞ + ∞] = ∞ .

     Пример 49. Найти lim
                                             x →+∞
                                                     (x   2
                                                              + 4x − x .    )
     Р е ш е н и е.

      lim
     x →+∞
              (x       2
                                         )
                           + 4 x − x = [∞ − ∞ ] = lim
                                                               x →+∞
                                                                        (x      2
                                                                                    + 4x − x ⋅        )    ( x 2 + 4 x + x)
                                                                                                                              =
                                                                                                           ( x 2 + 4 x + x)
                                                                                 

     = lim
               2
                   (
              x + 4x − x   2
                             = lim
                                     )   2
                                          4x         ∞ 
                                                   =   = lim 
                                                                  
                                                                        4x
                                                                                  
                                                                                  
                                                                                  =
       x →+∞     2
             ( x + 4 x + x)    x →+∞    2             ∞
                                     ( x + 4 x + x)      x → +∞              
                                                                   x 1 + 4 + 1 
                                                                         x    
                                                                              
                    
                    
                 4        4
     = lim          =         =2
       x →+∞     4    1+ 0 +1
             1 + + 1
                 x  

     Пример 50. Найти lim
                                             x →+∞
                                                     (x   2
                                                              + 3x + 1 − x 2 − 3x − 4 .                        )
46