Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 45 стр.

      Пример 39.
                  2
            х − 64  0 
                                             (х   2
                                                      − 64 
                                                            
                                                              ) ( х)
                                                                  3         2
                                                                                + 2 3 х + 4 
                                                                                             =
       lim          =  = lim
              (
       x→8 8 3 х − 2     )
                      0  x→8 8 3            (       х − 2 ) (3 х )2         + 2 3 х + 4 
                                                                                            
              ( х − 8 )(х + 8 ) (3   х   )2 + 23 х + 4                16 ⋅ 12
      = lim                                                           =           = 24 .
        x→8                    8( х − 8 )                                    8

      Пример 40.
           1 − cos 3x  0            2 sin 2 (3 x 2 )            sin (3 x 2 )
       lim           =   = lim                            = lim              = 0.
       x →0 sin 3 x     0  x →0 2 sin (3 x 2 ) cos(3 x 2 ) x →0 cos(3 x 2 )

                                       ∞
      II. Неопределенность               .
                                       ∞
      Пример 41.
              3x 4 − 5 x             3 − 53
                       ∞               x                                   3−0
      lim 4          =   = lim                                       =             = 3.
                2
      x →∞ x + x − 2    ∞  x →∞ 1 + 2 −
                                       1                          2         1+ 0 − 0
                                                         x        x4
       При вычислении предела числитель и знаменатель данной дроби раздели-
ли на х в старшей степени.
      Пример 42.
                                          1 − 2 + 1
              1 − 2х 3 + х   ∞          x5  х2  х4   0−0+0
      lim 5                =        = lim
                              ∞  x →∞ 1 + 3 − 2  =           = 0.
      x →∞ х + 3 х 3 − 2 х
                                               2   4
                                                       1 + 0 − 0
                                                              x        x

      Пример 43.
           x 2 − x + 3 ∞        1 − 1x + 32
                                              1 − 0 + 0 
      lim             =   = lim 1 2 х =                 = ∞.
      x →∞    x+2        ∞  x →∞ x + 2       0 + 0 
                                                          x

      Пример 44.
                                  1
                                    + 2−                               1
                      2
           1 + 2х − 1 ∞         х                                    х2    0 + 2 − 0 
      lim            =   = lim                                            =           =− 2.
      x →∞     x−5      ∞  x →∞    1 − 5x                                   1− 0 
      При вычислении предела воспользовались равенством х 2 = − х , если x<0.
      Следующие виды неопределенностей с помощью алгебраических преобра-
зований функции, стоящей под знаком предела, сводят к одному из рассмотрен-
                  0     ∞
ных выше случаев или .
                  0     ∞
      III. Неопределенность 0·∞.
                                                                                                  45