Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

44
7 Типы неопределенностей и способы их раскрытия
Часто при вычислении пределов какой-либо функции непосредственное
применение теорем о пределах не приводит к желаемой цели. Так, например,
нельзя применять теорему о пределе дроби, если ее знаменатель стремится к
нулю. Поэтому часто прежде, чем применить эти теоремы, необходимо тожде-
ственно преобразовать функцию, предел которой мы ищем.
Условные выражения
00
,0,1,,0,,
0
0
∞∞−∞∞⋅
∞
∞
∞
характеризуют типы неопределенностей и применяются для обозначе-
ния переменных величин, при вычислении предела которых нельзя сразу при-
менять общие свойства пределов.
Рассмотрим некоторые приемы раскрытия неопределенностей.
I. Неопределенность
0
0
.
Пример 36.
()
1
3
3
12
1
lim
)1(2
)1)(1(
lim
0
0
12
1
lim
2
1
2
1
2
1
2
3
1
==
+
++
=
+−
++−
=
=
−−
−
→→→
x
xx
xx
xxx
xx
x
xxx
.
Пример 37.
2)3(lim
2
65
lim
)2)(1(
)65)(1(
lim
0
0
23
6116
lim
1
2
1
2
1
2
23
1
−=−=
−
+−
=
−−
+−−
=
=
+−
−+−
→→→→
x
x
xx
xx
xxx
xx
xxx
xxxx
.
При разложении числителя на множители воспользовались правилом
деления многочлена на многочлен «углом». Так как число х=1 является корнем
многочлена х
3
-6х
2
+11х-6, то при делении получим
0
66
66
55
6115
65
1
6116
2
2
2
23
23
−
−
+−
−+−
+−
−
−
−+−
−
−
−
х
х
хх
хх
хх
х
хх
ххх
Пример 38.
(
)
(
)
()
()
()
()
6
1
32
1
lim
327
92
lim
327
3232
lim
0
0
7
32
lim
7777
=
++
=
++−
−+
=
++−
++−+
=
=
−
−+
→→→→
xхх
х
хх
хх
х
х
xxxx
. 
     7 Типы неопределенностей и способы их раскрытия

       Часто при вычислении пределов какой-либо функции непосредственное
применение теорем о пределах не приводит к желаемой цели. Так, например,
нельзя применять теорему о пределе дроби, если ее знаменатель стремится к
нулю. Поэтому часто прежде, чем применить эти теоремы, необходимо тожде-
ственно преобразовать функцию, предел которой мы ищем.
                               0 ∞
       Условные выражения , , 0 ⋅ ∞, ∞ − ∞, 1∞ , 0 0 , ∞ 0
                               0 ∞
       характеризуют типы неопределенностей и применяются для обозначе-
ния переменных величин, при вычислении предела которых нельзя сразу при-
менять общие свойства пределов.
       Рассмотрим некоторые приемы раскрытия неопределенностей.
                              0
       I. Неопределенность .
                              0
       Пример 36.
                x3 − 1   0       ( x − 1)( x 2 + x + 1)       x2 + x + 1 3
        lim 2           =  = lim                         = lim           = = 1.
        x →1 2 x − x − 1 
                          0  x →1 2( x − 1)(x + 12 )      x →1 2 x + 1   3

       Пример 37.
           x3 − 6x2 +11x − 6 0        (x −1)(x2 − 5x + 6)       x2 − 5x + 6
       lim                  =   = lim                     = lim             = lim(x − 3) = −2.
       x→1    x2 − 3x + 2     0 x→1 (x −1)(x − 2)           x→1    x −2       x→1


      При разложении числителя на множители воспользовались правилом
деления многочлена на многочлен «углом». Так как число х=1 является корнем
многочлена х3-6х2+11х-6, то при делении получим

           х 3 − 6 х 2 + 11 х − 6       х −1
       −
           х3 − х2                  х 2 − 5х + 6

               − 5 х 2 + 11 х − 6
           −
               − 5х 2 + 5х
                           6х − 6
                       −
                           6х − 6
                                0

       Пример 38.

       lim
                2+ х −3 0
                       = =lim
                                    (
                                2+ х −3 2+ х +3 )(
                                                =lim
                                                         )
                                                     2+ х −9
                                                               =lim
                                                                      1     1
                                                                           = .
       x→7                                  (        )             (
                 х −7 0 x→7 (х −7) 2+ х +3 x→7 (х −7) 2+ х +3 x→7 2+ x +3 6 )

44

Страницы