Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

42
Число е (число Эйлера, неперово число) играет весьма важную роль в ма-
тематическом анализе. График функции
x
ey =
получил название экспоненты.
Широко используются логарифмы по основанию е, называемые натуральными:
xx
e
lnlog =
.
К числу е приводят решения многих прикладных задач статистики, фи-
зики, биологии, химии и др., анализ таких процессов, как рост народонаселе-
ния, распад радия, размножение бактерий и т. п
.
Рассмотрим задачу о непрерывном начислении процентов. Первона-
чальный вклад в банк составил Q
0
денежных единиц. Банк выплачивает еже-
годно р% годовых. Необходимо найти размер вклада Q
t
через t лет.
При использовании простых процентов размер вклада будет ежегодно
увеличиваться на одну и ту же величину
0
100
Q
p
, т.е.
,
100
1
01
+
=
p
QQ
,
100
2
1
02
+
=
p
QQ
.
100
1.....,
0
+
=
pt
QQ
t
На практике значительно
чаще применяются сложные проценты. В этом случае размер вклада ежегод-
но будет увеличиваться в одно и то же число
+
100
1
p
раз, т. е.
),
100
1(
01
p
QQ +=
,
100
1
2
02
+
=
p
QQ
.
100
1...,
01
t
p
QQ
+
=
Если начислять проценты по вкладам не один раз в году, а n раз, то при
том же ежегодном приросте
%
p
процент начисления за
n
1
- ю часть года со-
ставит
%,
n
p
а размер вклада за t лет при
n
t
начислениях составит
.
100
1
0
nt
t
n
p
QQ
+
=
Будем полагать, что проценты по вкладу начисляются каждое полугодие
,)2( =n
ежеквартально
,)4( =n
ежемесячно
,)12(
=
n
каждый день
,)365( =n
каждый час
)8760( =n
и т.д., непрерывно
.)(
∞
→n
Тогда размер
вклада за
t
лет составит
100
100
00
100
1lim
100
1lim
pt
p
n
nt
t
n
p
Q
n
p
QQ
nn
+=
+
∞→∞→
=
или с учётом при
∞→=
p
n
x
100
        Число е (число Эйлера, неперово число) играет весьма важную роль в ма-
тематическом анализе. График функции y = e x получил название экспоненты.
Широко используются логарифмы по основанию е, называемые натуральными:
log e x = ln x .
        К числу е приводят решения многих прикладных задач статистики, фи-
зики, биологии, химии и др., анализ таких процессов, как рост народонаселе-
ния, распад радия, размножение бактерий и т. п.
        Рассмотрим задачу о непрерывном начислении процентов. Первона-
чальный вклад в банк составил Q0 денежных единиц. Банк выплачивает еже-
годно р% годовых. Необходимо найти размер вклада Qt через t лет.
         При использовании простых процентов размер вклада будет ежегодно
увеличиваться         на      одну       и       ту      же     величину      p
                                                                                 Q0 ,  т.е.
                                                                             100
             p                2p                       pt 
Q1= Q0 1 +       , Q2= Q0 1 +     , ....., Qt = Q0 1 +     . На практике значительно
        100                100                      100 
чаще применяются сложные проценты. В этом случае размер вклада ежегод-
но будет увеличиваться в одно и то же число 1 + p  раз, т. е.
                                                          100 
                                                         2                             t
                               p                p                     p 
                 Q1 = Q0 (1 +     ), Q2= Q0 1 +    , ..., Q1= Q0 1 +      .
                              100            100                     100 
       Если начислять проценты по вкладам не один раз в году, а n раз, то при
том же ежегодном приросте p% процент начисления за 1 - ю часть года со-
                                                          n
ставит p %, а размер вклада за t лет при nt начислениях составит
       n
                                                  nt
                                             p 
                                 Qt = Q0 1 +    .
                                          100n 
      Будем полагать, что проценты по вкладу начисляются каждое полугодие
(n = 2) , ежеквартально (n = 4) , ежемесячно (n = 12) , каждый         день
(n = 365) , каждый час (n = 8760) и т.д., непрерывно (n → ∞) . Тогда размер
вклада за t лет составит
                                                                                  pt
                                          nt                        100 n 
                                                                                100
                                  p                          p  p 
                  Qt = lim Q0 1 +            = Q0 lim 1 +      
                       n →∞    100n                   
                                                    n→∞      100n        
                                                                         
        или с учётом при x = 100n → ∞
                               p


42

Страницы