Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

40
6 Замечательные пределы
6.1 Первый замечательный предел
Докажем, что .1
sin
lim
0
=
→
x
x
x
Рассмотрим дугу окружности радиуса R=1 с центральным углом, ради-
анная мера которого равна x (0<x<2
/
π
) (рисунок 12) .
Тогда
ОА=1, sin x =MK, tgx= AT. (9)
Очевидно, что площадь треугольника ОАМ меньше площади сектора
ОАМ, которая меньше площади треугольника ОАТ, или, что то же самое, (1/2)
MK
OA ⋅ <(1/2)
∪
⋅
A
MOA <(1/2)
AT
OA
⋅
. Принимая во внимание равенства (9),
последнее соотношение можно записать в виде (1/2) sin x<(1/2) x <(1/2) tg x, от-
куда получаем
sin x< x< tg x . (10)
Разделив эти неравенства на sin x,получим
xx
x
cos
1
sin
1 << , или
.1
sin
cos <<
x
x
x
Так как функции
x
cos и
x
xsin
– чётные, то полученные неравенства
справедливы и при
.0
2
<<
π
− x Переходя к пределу при 0→
x
, получим
,11lim
0
=
→x
1coslim
0
=
→
x
x
. На основании признака существования предела проме-
Рисунок 12
А
Т
М
К
0
        6 Замечательные пределы

        6.1 Первый замечательный предел

                         sin x
         Докажем, что lim      = 1.
                     x →0 x
       Рассмотрим дугу окружности радиуса R=1 с центральным углом, ради-
анная мера которого равна x (0

Страницы