Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

39
положительное число ε, найдется такое число δ (большее а), что для всех
()
δ∈ ,ах выполняется неравенство
ε
<
−
bxf )(.
Заметим, что если пределы слева и справа в точке а, для функции f(x) не
совпадают, то функция не имеет предела (двустороннего) в точке а.
Пример 33.
а) Рассмотрим функцию y=f(x), определенную на отрезке [0,1] следую-
щим образом
≤≤−
<
≤
−
=
.43 при,3
,30 при,1
)(
xx
xx
xf (См. рисунок 11.)
Найдем пределы функции f(x) при х→3. Очевидно,
0)3(lim)(lim,2)1(lim)(lim
03030303
=
−
=
=
−
=
+→+→−→−→
xxfxxf
xxxx
.
б)
102
1
0021lim
11
00
=
→⇒−∞→⇒−→=
+
−→
xx
x
x
x
,
+∞=
+∞→⇒+∞→⇒+→=
+
+→
xx
x
x
x
11
2
1
0021lim
00
.
в)
+∞=
+∞→
−
⇒+→−⇒<−→=
−
−→
x
xxx
x
x
5
1
005)5(058lim
5
1
05
.
г)
0
4
1
004
)4(04)2(02
3
1
lim
2
2
22
02
4
2
1
=
+∞→
−
⇒+→−⇒
⇒>+→⇒−<−−→
=
−
−−→
x
x
xxхx
х
x
.
х
1 2 3 4
2 -
1 -
0
-1-
у
Рисунок 11 
положительное число ε, найдется такое число δ (большее а), что для всех
х ∈ (а, δ ) выполняется неравенство f ( x) − b < ε .
        Заметим, что если пределы слева и справа в точке а, для функции f(x) не
совпадают, то функция не имеет предела (двустороннего) в точке а.
        Пример 33.
        а) Рассмотрим функцию y=f(x), определенную на отрезке [0,1] следую-
                       x − 1, при 0 ≤ x < 3,
щим образом f ( x) =                           (См. рисунок 11.)
                      3  − x , при 3 ≤ x ≤ 4 .
                                          у


                                         2-
                                         1-
                                         0   1 2 3 4                  х
                                         -1-
                                          Рисунок 11

      Найдем        пределы              функции       f(x)   при      х→3.            Очевидно,
 lim f ( x) = lim ( x − 1) = 2,         lim f ( x) = lim (3 − x) = 0 .
x →3 − 0         x → 3− 0              x →3+ 0        x →3 + 0
                              1
                                                   1            1
                                                                        
           б) lim 1 + 2 x  =  x → 0 − 0 ⇒ → −∞ ⇒ 2 x → 0 = 1 ,
             x →0 − 0                             x                  
                                1
                                                    1             1
                                                                           
                 lim 1 + 2 x  =  x → 0 + 0 ⇒ → +∞ ⇒ 2 x → +∞  = +∞ .
               x →0 + 0                            x                    
                          1
                                                                          1           
           в) lim 8 5− x =  x → 5 − 0 ( x < 5) ⇒ 5 − x → 0 + 0 ⇒                → +∞  = +∞ .
              x →5 − 0                                                   5− x         
                                 1     x → −2 − 0 ( х < −2) ⇒ x 2 → 4 + 0 ( x 2 > 4) ⇒
                         1  х −4 
                               2
                                                                                          = 0.
           г) lim                  =         2                     1                  
              x → −2 − 0 3                ⇒ x −4→0+0⇒ 2                 → +∞
                                                                  x −4                 




                                                                                                  39

Страницы