Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 38 стр.

        Теорема 27. Если при при х→а (или х→∞) функция y = f(x) принимает
неотрицательные значения у ≥ 0 и при этом стремится к пределу b, то этот пре-
дел не может быть отрицательным: b ≥ 0 .
        Д о к а з а т е л ь с т в о: Доказательство проведем методом от против-
ного. Предположим, что b < 0, тогда y − b ≥ b , и следовательно, модуль разно-
сти не стремится к нулю при х→а. Но тогда у не стремится к пределу b при
х→а, что противоречит условию теоремы. Ч.т.д.
        Теорема 28. Если две функции f(x) и g(x) при всех значениях аргумента
х    удовлетворяют           неравенству       f ( x) ≥ g ( x) и   имеют пределы
lim f ( x) = b, lim g ( x) = c , то имеет место неравенство b ≥ c.
x→a             x →a
       Д о к а з а т е л ь с т в о: По условию теоремы f ( x) − g ( x) ≥ 0 , следова-
тельно, по теореме 5 lim ( f ( x) − g ( x) ) ≥ 0 или lim f ( x) − lim g ( x) ≥ 0 . Ч.т.д.
                       x→a                         x→a         x→a


          5.1 Односторонние пределы

       До сих пор мы рассматривали определение предела функции, когда х→а
произвольным образом, т.е. предел функции не зависел от того, как располага-
лись значения х по отношению к а – слева или справа. Однако, довольно часто
можно встретить функции, которые не имеют предела при этом условии, но они
имеют предел, если х→а, оставаясь с одной стороны от а, слева или справа. По-
этому вводят понятия односторонних пределов.
                                 у




                                                          х
                                 0          а

                                       Рисунок 10

      Определение: Если f(x) стремится к пределу b при х, стремящимся к не-
которому числу а, так, что х принимает только значения, меньшие а, то пишут
 lim f ( x) = b и называют b пределом функции f(x) в точке а слева.
x→a −0
       Таким образом, число b называется пределом функции у=f(x) при х→а
слева, если каково бы ни было положительное число ε , найдется такое число δ
(меньшее а), что для всех х ∈ (δ, а ) выполняется неравенство f ( x) − b < ε .
       Определение: Если х→а и принимает значения, большие а, то пишут
 lim f ( x) = b и называют b пределом функции в точке а справа. Т.е. число b
x→a + 0
называется пределом функции у=f(x) при х→а справа, если каково бы ни было


38