Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

37
,
)(lim
)(lim
)(
)(
lim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
→
→
→
= если
0)(lim
≠
→
xg
ax
.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть
0)(lim,)(lim ≠
=
=
→→
cxgbxf
axax
.
Следовательно, f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x), где α(х), β(х) – бесконечно малые.
Рассмотрим частное
))((
)()(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
хcc
хbхc
c
b
c
b
хc
хb
c
b
хc
хb
xg
xf
β
βα
β
α
β
α
+
−
+=
−
+
+
+=
+
+
= .
Дробь
))((
)()(
хcc
хbхc
β
β
α
+
−
является бесконечно малой функцией, так как числитель
есть бесконечно малая функция, а знаменатель имеет предел 0
2
≠c . Ч.т.д.
Пример 32.
а)
4
2
8
214
513
2lim4
5lim3
)24(lim
)53(lim
24
53
lim
1
1
1
1
1
==
−⋅
+⋅
=
−
+
=
−
+
=
−
+
→
→
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.
б)
0
2lim
)2(lim
2
2
lim
2
2
2
=
+
−
=
+
−
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
.
в) Рассмотрим
1
lim
1
−
→
x
x
x
. При х→1 числитель дроби стремится к 1, а зна-
менатель стремится к 0. Но так как
0
lim
)1(lim
1
lim
1
1
1
=
−
=
−
→
→
→
x
x
х
х
x
x
x
, т.е.
х
х 1−
есть бес-
конечно малая функция при х→1, то
∞=
−
→
1
lim
1
x
x
x
.
Теорема 26. Пусть даны три функции f(x), u(x) и v(x) удовлетворяющие
неравенствам )()()(
x
v
x
f
x
u ≤≤ . Если функции u(x) и v(x) имеют один и тот же
предел при х→а (или х→∞), то и функция f(x) стремится к тому же пределу, т.е.
если
bxvxu
axax
==
→→
)(lim)(lim
, то
bxf
ax
=
→
)(lim
. Смысл этой теоремы понятен из
рисунка 9.
Рисунок 9
u(x)
v(x)
f
(x)
0
b
х
у
                                            lim f ( x)
                                   f ( x) x→a
                              lim         =            , если lim g ( x) ≠ 0 .
                              x →a g ( x)   lim g ( x)        x→a
                                               x →a


       Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть lim f (x) = b, lim g(x) = c ≠ 0 .
                                                      x→a          x→a
Следовательно, f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x), где α(х), β(х) – бесконечно малые.
                          f ( x) b + α ( х) b  b + α ( х) b  b cα ( х) − bβ ( х)
Рассмотрим частное              =          = +            − = +                  .
                          g ( x) c + β ( х) c  c + β ( х) c  c c(c + β ( х))
      cα ( х) − bβ ( х)
Дробь                   является бесконечно малой функцией, так как числитель
        c(c + β ( х))
есть бесконечно малая функция, а знаменатель имеет предел c 2 ≠ 0 . Ч.т.д.
       Пример 32.
                         lim(3 x + 5) 3 lim x + 5
               3 x + 5 x →1                         3 ⋅1 + 5 8
       а) lim          =             = x→1        =         = = 4.
          x →1 4 x − 2   lim(4 x − 2) 4 lim x − 2 4 ⋅ 1 − 2 2
                         x →1                   x →1
                             lim ( x − 2)
                  x−2        x →2
       б) lim            =                  = 0.
            x→2   2+ x       lim 2 + x
                             x →2
                            x
       в) Рассмотрим lim        . При х→1 числитель дроби стремится к 1, а зна-
                     x →1 x − 1
                                                 lim( x − 1)
                                          х − 1 x →1                    х −1
менатель стремится к 0. Но так как lim         =             = 0 , т.е.      есть бес-
                                      x →1 х       lim x                  х
                                                              x →1
                                                 x
конечно малая функция при х→1, то lim                =∞.
                                          x →1 x − 1
       Теорема 26. Пусть даны три функции f(x), u(x) и v(x) удовлетворяющие
неравенствам u ( x) ≤ f ( x) ≤ v( x) . Если функции u(x) и v(x) имеют один и тот же
предел при х→а (или х→∞), то и функция f(x) стремится к тому же пределу, т.е.
если lim u ( x) = lim v( x) = b , то lim f ( x) = b . Смысл этой теоремы понятен из
      x→a         x →a                   x→a
рисунка 9.
                                    у

                                                              v(x)
                                        f(x)
                                b
                                                            u(x)

                                0                                        х


                                        Рисунок 9

                                                                                   37

Страницы