Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

36
5 Теоремы о пределах функции
Теорема 23. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще опреде-
ленного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций,
т.е.
() ()()()
(
)
xgxfxgxf
axaxax →→→
+
=
+ limlimlim
.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Проведем доказательство для двух слагаемых,
так как для любого числа слагаемых оно производится также. Пусть
cxgbxf
axax
==
→→
)(lim,)(lim
. Тогда )()(
x
b
x
f
α
+
=
и ),()(
x
c
x
g
β
+
=
где α и β –
бесконечно малые функции. Следовательно,
(
)
(
)
.)()()()( xxcbxgxf
β
+
+
+
=
+
Так как b + с есть постоянная величина, а α(х) + β(х) – функция беско-
нечно малая, то
() ()()
(
)
(
)
xgxfcbxgxf
axaxax →→→
+
=
+
=
+ limlimlim
. Ч.т.д.
Пример 30. 101
2
lim1lim
2
1lim
2
lim
2
2
=+=+=
+=
+
∞→∞→∞→∞→
xx
x
xx
xxxx
.
Теорема 24.
Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа
функций равен произведению пределов этих функций:
() ()()()
(
)
xgxfxgxf
axaxax →→→
⋅=⋅ limlimlim
.
Доказательство: Пусть
(
)
cxgbxf
axax
=
=
→→
lim,)(lim
. Следовательно,
() ()
xbxf
+= и
() ()
xcxg β+= и
(
)
(
)
(
)
αβ
β
β
++
+
=
+
+
=
cbbccbfg . Про-
изведение bc есть величина постоянная. Функция
αβ
α
β
+
+
cb на основании
свойств бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая. Поэтому
() ()() ()
(
)
xgxfcbxgxf
axaxax →→→
⋅
=⋅=⋅ limlimlim
. Ч.т.д.
Следствие 1
. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
(
)
(
)
xfcxfc
axax →→
⋅
=
⋅
limlim
.
Следствие 2. Предел степени равен степени предела:
()() ()
п
ax
п
ax
xfxf
=
→→
limlim
Пример 31.
4085lim55lim
3
2
3
2
=⋅==
→→
xx
xx
.
Теорема 25.
Предел частного двух функций равен частному пределов
этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е. 
       5 Теоремы о пределах функции

        Теорема 23. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще опреде-
ленного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций,
т.е. lim ( f ( x ) + g ( x )) = lim f ( x ) + lim g ( x ) .
      x→a                     x →a            x →a
        Д о к а з а т е л ь с т в о: Проведем доказательство для двух слагаемых,
так как для любого числа слагаемых оно производится также. Пусть
lim f ( x) = b, lim g ( x) = c . Тогда f ( x) = b + α ( x) и g ( x) = c + β ( x), где α и β –
x→a             x →a
бесконечно малые функции. Следовательно,

                                     f ( x) + g ( x) = (b + c ) + (α ( x) + β ( x) ).

      Так как b + с есть постоянная величина, а α(х) + β(х) – функция беско-
нечно малая, то

                        lim ( f ( x ) + g ( x )) = b + c = lim f ( x ) + lim g ( x ) . Ч.т.д.
                        x→a                                        x →a              x→a


                                x 2 + 2x              2             2
        Пример 30. lim                       = lim 1 +  = lim 1+ lim = 1 + 0 = 1 .
                         x →∞        x2        x →∞   x  x →∞ x →∞ x

          Теорема 24. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа
функций                равен           произведению    пределов этих функций:
lim ( f ( x ) ⋅ g ( x )) = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x ) .
x→a                    x→a            x→a
        Д о к а з а т е л ь с т в о : Пусть lim f (x) = b, lim g(x) = c . Следовательно,
                                                                x→a                 x→a
 f ( x ) = b + α ( x ) и g ( x ) = c + β( x ) и fg = (b + α )(c + β ) = bc + (bβ + cα + αβ ) . Про-
изведение bc есть величина постоянная. Функция bβ + cα + αβ на основании
свойств бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая. Поэтому
lim ( f ( x ) ⋅ g ( x )) = b ⋅ c = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x ) . Ч.т.д.
x→a                            x →a           x→a
        Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
                          lim c ⋅ f ( x ) = c ⋅ lim f ( x ).
                                     x→a                        x →a
        Следствие 2. Предел степени равен степени предела:
                                                                                п
                                      lim ( f ( x ))   п
                                                           =  lim f ( x )
                                      x→a                      x →a        

        Пример 31. lim 5 x 3 = 5 lim x 3 = 5 ⋅ 8 = 40 .
                          x→2               x →2


      Теорема 25. Предел частного двух функций равен частному пределов
этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е.

36

Страницы