Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 35 стр.

     4.3.4 Соотношение между бесконечно малыми и бесконечно больши-
ми функциями

        Теорема 21. Если функция f(x) является бесконечно большой при x→a
                     1
то функция у =             является бесконечно малой при x→a.
                   f (x )
        Д о к а з а т е л ь с т в о : Возьмем произвольное число ε >0 и покажем,
что при некотором δ>0 (зависящим от ε ) при всех х, для которых |х-а|<δ, вы-
                                  1                                                1
полняется неравенство                  < ε , а это и будет означать, что функция        –
                                f (x )                                           f (x )
бесконечно малая функция. Действительно, так как f(x) – бесконечно большая
функция при х→а, то найдется δ>0 такое, что как только |х-а|< ε , так
                                               1
|ƒ(х)|>1/ ε . Но тогда для тех же х                 < ε . Ч.т.д.
                                             f (x )
        Пример 28.
        а) Ясно, что при x→+∞ функция у = х2+1 является бесконечно большой.
                                                                              1
Но тогда согласно сформулированной выше теореме функция у = 2                    - бес-
                                                                            х +1
                                                 1
конечно малая при x→+∞, т.е. lim 2                    = 0.
                                        x →∞ x + 1
                                  1
        б) lim e − x = lim x = 0 .
            x → +∞        x → +∞ e


       Теорема 22. Если функция f(x) – бесконечно малая при x→a (или х→∞)
                                     1
и не обращается в нуль, то у =            является бесконечно большой функцией.
                                   f (x )
       Пример 29.
               1
       а) lim = ∞ .
          x →0 x
                sin x            1
       б) lim         = lim sin x =0
          x →∞ x        x →∞     x
                    6 1                              6     1
       в) lim  5 − + 2  = 5 , так как функции – и 2 являются произведе-
          x →∞      x x                              x    x
нием постоянного числа и бесконечно малой функции. Следовательно, по тео-
реме 21 для бесконечно малых функций получаем нужное равенство.
       Таким образом, простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно
больших функций можно записать с помощью следующих условных соотноше-
ний:
                                      А                           А
                      А≠0: А·∞ = ∞, = ∞, ∞ + А = ∞, +∞+∞=∞, = 0 .
                                      0                           ∞

                                                                                      35