Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

33
Из данной теоремы получаем специальное представление для функции,
имеющей в точке х=х
0
предел, равный А:
),()(
x
A
x
f
α
+
=
где 0)(lim
0
=
α
→
x
xx
.
При этом обычно говорят, что функция f(x) в окрестности точки х
0
от-
личается от А на бесконечно малую функцию. Ч.т.д.
Теорема 20. Алгебраическая сумма и произведение конечного числа
бесконечно малых функций при
0
xx → , являются бесконечно малыми функ-
циями при
0
xx → .
Всё сказанное о бесконечно малых функциях при
0
xx → справедливо и для
бесконечно малых функций при ,
∞
→
x
,
+
∞→
x
,
−
∞→
x
,
0
−→ xx .
0
+
→ xx
4.3.2 Бесконечно большие функции
Определение:
Функция f(x) называется бесконечно большой функцией
(или просто бесконечно большой) в точке х=х
0
(или при
0
xx →
), если для лю-
бого 0>ε существует 0>δ такое, что для всех ,,
0
xxXx
≠
∈
удовлетворяющих
неравенству
,
0
δ
<
− xx выполняется неравенство .)(
>xf
В этом случае пишут
∞
=
→
)(lim
0
xf
xx
и говорят, что функция стремится к
бесконечности при
0
xx → , или что она имеет бесконечный предел в точке х=х
0
.
Если же выполняется неравенство
>)(
x
f
,))(( ε−<
x
f
то пишут
+∞=
→
)(lim
0
xf
xx
))(lim(
0
−∞=
→
xf
xx
и говорят, что функция имеет в точке х
0
бес-
конечный предел, равный ∞+ )(
−
∞ .
Используя логические символы, определение можно записать в виде
()
0>∀
ε
)0( >δ∃
(
)
.)(:,,
00
ε
δ
>
<
−
≠
∈∀ xfxxxxXx
По аналогии с конечными односторонними пределами определяются и
бесконечные односторонние пределы:
,)(lim
0
+∞
=
+→
xf
xx
,)(lim
0
−
∞
=
+→
xf
xx
+
∞
=
−→
)(lim
0
xf
xx
,
.)(lim
0
−
∞=
−→
xf
xx
Аналогично определяются бесконечно большие функции при ,
∞
→
x
+∞→
x
и .−∞→
x
Определение: Функция )(
x
f
называется бесконечно большой при
,∞→
x
если для любого 0>ε существует 0>
δ
такое, что для всех
X
x
∈ , удов-
летворяющих неравенству
,δ>x выполняется неравенство .)(
>xf При
этом пишут
∞=
∞→
)(lim xf
x
.
Символическая запись определения бесконечно большой функции при
∞→
x
: 
     Из данной теоремы получаем специальное представление для функции,
имеющей в точке х=х0 предел, равный А:
                              f ( x) = A + α( x), где lim α( x) = 0 .
                                                     x → x0

       При этом обычно говорят, что функция f(x) в окрестности точки х0 от-
личается от А на бесконечно малую функцию. Ч.т.д.
       Теорема 20. Алгебраическая сумма и произведение конечного числа
бесконечно малых функций при x → x0 , являются бесконечно малыми функ-
циями при x → x0 .
Всё сказанное о бесконечно малых функциях при x → x0 справедливо и для
бесконечно малых функций при x → ∞, x → +∞, x → −∞, x → x0 −, x → x0 + .

        4.3.2 Бесконечно большие функции

        Определение: Функция f(x) называется бесконечно большой функцией
(или просто бесконечно большой) в точке х=х0 (или при x → x0 ), если для лю-
бого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x ∈ X , x ≠ x0 , удовлетворяющих
неравенству x − x0 < δ, выполняется неравенство f ( x) > ε.
        В этом случае пишут lim f ( x) = ∞ и говорят, что функция стремится к
                                 x→ x0
бесконечности при x → x0 , или что она имеет бесконечный предел в точке х=х0.
        Если же выполняется неравенство f (x) > ε ( f ( x) < −ε ) , то пишут
 lim f ( x) = +∞ ( lim f ( x) = −∞ ) и говорят, что функция имеет в точке х0 бес-
x→ x0                x→ x0
конечный предел, равный + ∞ (−∞ ) .
      Используя логические символы, определение можно записать в виде
       (∀ε > 0 ) (∃δ > 0) (∀x ∈ X , x ≠ x 0 , x − x 0 < δ ) : f ( x) > ε .
      По аналогии с конечными односторонними пределами определяются и
бесконечные односторонние пределы:
            lim f ( x) = +∞ , lim f ( x) = −∞ , lim f ( x) = +∞, lim f ( x) = −∞.
            x→x0 +            x→x0 +              x→x0 −                x→x0 −


      Аналогично определяются бесконечно большие функции при x → ∞,
x → +∞ и x → −∞ .
      Определение: Функция      f (x) называется бесконечно большой при
x → ∞, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x ∈ X , удов-
летворяющих неравенству x > δ, выполняется неравенство f ( x) > ε . При
этом пишут lim f ( x) = ∞ .
              x →∞
      Символическая запись определения бесконечно большой функции при
x → ∞:
                                                                                    33

Страницы