Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 31 стр.

       г) f(x)=1/x – бесконечно малая при х → ∞ .
                                   у



                                   1

                                   0     1                     х

                                       Рисунок 8

        Теорема 15. Если функция у=f(x) представимa при х → а в виде суммы
постоянного числа b и бесконечно малой величины α ( х) : f ( x) = b + α ( x) то
lim f ( x) = b .
x→a
       Обратно, если lim f ( x) = b , то f ( x) = b + α( x) , где α(х) - бесконечно ма-
                       x→a
лая при х → а .
        Д о к а з а т е л ь с т в о:
        1. Докажем первую часть утверждения. Из равенства f ( x) = b + α ( x)
следует f ( x) − b = α ( х) . Но т.к. α(х) – бесконечно малая, то при произвольном
ε найдется δ – окрестность точки а, при всех х из которой значения α(х) удов-
летворяют соотношению α (х) < ε . Тогда f ( x) − b < ε . А это и значит, что
lim f ( x) = b .
x→a
       2. Если lim f ( x) = b , то при любом ε >0 для всех х из некоторой δ – ок-
                x→a
рестности точки а будет f ( x) − b < ε . Но если обозначим f(x)-b=a, то α (х) < ε ,
а это значит, что α(х) – бесконечно малая.Ч.т.д.

       4.3.1.1 Свойства бесконечно малых функций

       Теорема 16. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конеч-
ного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.
       Д о к а з а т е л ь с т в о: Приведем доказательство для двух слагаемых.
Пусть f(x) = α(x)+β(x), где lim α ( x ) = 0 и lim β( x ) = 0 . Нам нужно доказать, что
                             x→a             x→a
при произвольном, как угодно малом ε > 0 найдется δ > 0, такое, что для х,
удовлетворяющих неравенству |x-а| < δ, выполняется |f(x)| < ε .
        Итак, зафиксируем произвольное число ε < 0. Так как по условию тео-
ремы α(х) – бесконечно малая функция, то найдется такое δ1 > 0, что при
 х − а < δ1 имеем |α (х)| < ε /2. Аналогично, так как β(х) – бесконечно малая, то
найдется такое δ2 > 0, что при |х-а| < δ2 имеем |β(х)| < ε /2.


                                                                                    31