Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

29
4.2 Предел функции при
−
→
0
xx и при
+
→
0
xx , х →∞, при х → –∞,
и при х → +∞.
Определение: Число А называется правым (левым) пределом функции
)(
x
f
в точке
0
x , если для любой сходящейся к
0
x последовательности (7), эле-
менты
n
x которой больше (меньше)
0
x , соответствующая последовательность
(8) сходится к А.
Символическая запись:
Axf
xx
=
+→
)(lim
0
, ( Axf
xx
=
−→
)(lim
0
).
В качестве примера можно рассмотреть функцию .sgn)(
x
x
f
= Она
имеет в точке х=0 правый и левый пределы: 1sgnlim
0
=
+→
x
xx
, 1sgnlim
0
−
=
−→
x
xx
.
Действительно, если (7) –любая сходящаяся к нулю последовательность зна-
чений аргумента этой функции, элементы
n
x которой больше нуля (
n
x >0), то
sgn x
n
=1 и
1sgnlim
0
=
+→
x
x
. Аналогично устанавливается, что
.1sgnlim
0
−
=
−→
x
x
Теорема 14. Функция )(
x
f
имеет в точке
0
x предел тогда и тогда, ко-
гда в этой точке существуют как правый, так и левый пределы, и они равны. В
этом случае предел функции равен односторонним пределам.
Определение: Число А называется пределом функции )(
x
f
при
∞
→
x
,
если для любой бесконечно большой последовательности (7) значений аргу-
мента соответствующая последовательность значений функции (8) сходится к
А.
Символическая запись:
Axf
x
=
∞→
)(lim
.
Определение: Число А называется пределом функции )(
x
f
при
+∞→
x
)( −∞→
x
, если для любой бесконечно большой последовательности
значений аргумента, элементы
n
x которой положительны (отрицательны), со-
ответствующая последовательность значений функции сходится к А.
Символическая запись:
Axf
x
=
+∞→
)(lim
))(lim( Axf
x
=
−∞→
.
Пример 26. Функция
x
xf
1
)( = имеет предел при ∞→
x
, равный нулю.
Действительно, если
{}
−
n
x бесконечно большая последовательность значений
аргумента, то соответствующая последовательность значений функции:
,/1
1
x ,/1
2
x …,/1
n
x … является бесконечно малой и поэтому имеет предел,
равный нулю, т. е.
0)/1(lim =
∞→
x
x
(рисунок 7) . 
     4.2 Предел функции при x → x0 − и при x → x0 + , х →∞, при х → –∞,
и при х → +∞.

        Определение: Число А называется правым (левым) пределом функции
 f (x) в точке x0 , если для любой сходящейся к x0 последовательности (7), эле-
менты xn которой больше (меньше) x0 , соответствующая последовательность
(8) сходится к А.
        Символическая запись: lim f ( x) = A , ( lim f ( x) = A ).
                                x→ x0 +           x→ x0 −

      В качестве примера можно рассмотреть функцию f ( x) = sgn x . Она
имеет в точке х=0 правый и левый пределы: lim sgn x = 1 , lim sgn x = −1 .
                                                 x→ x0 +          x→ x0 −
Действительно, если (7) –любая сходящаяся к нулю последовательность зна-
чений аргумента этой функции, элементы xn которой больше нуля ( xn >0), то
sgn x n =1 и lim sgn x = 1 . Аналогично устанавливается, что lim sgn x = −1.
           x →0 +                                             x →0 −
       Теорема 14. Функция f (x) имеет в точке x0 предел тогда и тогда, ко-
гда в этой точке существуют как правый, так и левый пределы, и они равны. В
этом случае предел функции равен односторонним пределам.
       Определение: Число А называется пределом функции f (x) при x → ∞ ,
если для любой бесконечно большой последовательности (7) значений аргу-
мента соответствующая последовательность значений функции (8) сходится к
А.
       Символическая запись: lim f ( x) = A .
                               x →∞
       Определение: Число А называется пределом функции f (x) при
x → +∞ ( x → −∞) , если для любой бесконечно большой последовательности
значений аргумента, элементы xn которой положительны (отрицательны), со-
ответствующая последовательность значений функции сходится к А.
       Символическая запись: lim f ( x) = A ( lim f ( x) = A) .
                                 x→+∞             x → −∞
                                           1
      Пример 26. Функция f ( x ) =           имеет предел при x → ∞ , равный нулю.
                                           x
Действительно, если {xn } − бесконечно большая последовательность значений
аргумента,           то соответствующая последовательность значений функции:
1 / x1 , 1 / x2 , …1 / xn , … является бесконечно малой и поэтому имеет предел,
равный нулю, т. е. lim (1 / x) = 0 (рисунок 7) .
                    x →∞




                                                                               29

Страницы