Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 28 стр.

    1                        2             (4n − 3)π
 f   = sin nπ = 0, а f             = sin           = 1, то для первой последова-
    nπ                   (4n − 3)π             2
тельности lim f ( x n ) = lim sin nπ = 0, а для второй последовательности
              n →∞               n →∞
                  (4n − 3)π
lim f ( x n ) = lim sin      = 1. Таким образом, для двух сходящихся к нулю
n →∞        n →∞       2
последовательностей значений аргумента x соответствующие последователь-
ности значений функции имеют разные пределы. А это по определению преде-
ла функции и означает, что lim f ( x) не существует.
                                    x →0
                                    2
                           x + x −1
       г) Функция f ( x) =             имеет в точке x=0 предел, равный 1. Дейст-
                              x −1
вительно, возьмём любую последовательность значений аргумента x, сходя-
щуюся к нулю, т. е. lim x n = 0, и x n ≠ 0 тогда в силу теорем 7 - 9 имеем
                          n →∞

                           x 2 n + xn − 1 ( nlim xn ) 2 + lim xn − 1
        lim f ( xn ) = lim               = →∞             n→∞
                                                                     = 1.
        n→∞            n→∞      xn − 1            lim xn − 1
                                                      n→∞
Таким образом, существует lim f ( x n ) = 1, и так как он не зависит от выбора
                                        n →∞
последовательности {xn }, сходящейся к нулю, то на основании определения
предела функции заключаем, что lim f ( x n ) = 1, сходящейся к нулю, то на ос-
                                               n →∞
новании определения предела функции заключаем, что lim f ( x) = 1.
                                                                 x →0
        д) Функция Дирихле, значения которой в рациональных точках равны
единице, а в иррациональных – нулю, не имеет предела ни в одной точке
x0 числовой прямой. Действительно, для сходящейся к точке x0
последовательности        рациональных     значений      аргумента      предел
соответствующей последовательности значений функции равен единице, а для
сходящейся к точке x0 последовательности иррациональных значений
аргумента предел соответствующей последовательности значений функции
равен нулю.
        Существует другое определение предела функции.
        Определение: Число A называется пределом функции f (x) в точке
x = x0 , если для любого числа ε > 0 существует число δ > 0 такое, что для всех
х∈ X , x ≠ x0 , удовлетворяющих неравенству x − x0 < δ , выполняется неравен-
ство f ( x) − A < ε.
       Первое определение основано на понятии предела числовой последова-
тельности, поэтому его часто называют определением «на языке последова-
тельностей». Второе определение называют определением «на языке ε − δ ».
       Теорема 13. Первое и второе определения предела функции эквивалент-
ны.



28