Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 27 стр.

         4 Предел функции

         4.1 Предел функции при x → x0

       Пусть функция f(x) определена на некотором множестве Х и пусть точка
x0 ∈ X . Возьмём из Х последовательность точек, отличных от x0 :

                               х1, х2, х3,…, хn,…,                                  (7)

       сходящихся к x0 . Значения функции в точках этой последовательности
также образуют числовую последовательность

                            f (х1), f (х2),f (х3),…, f (хn),…,                      (8)

         и можно ставить вопрос о существовании её предела.
         Определение: Число A называется пределом функции f ( x) в точке
 x = x0 (или при x → x0 ), если для любой сходящейся к x0 последовательности
(7) значений аргумента х, отличных от х 0 , соответствующая последователь-
ность (8) значений функции сходиться к числу А.
         Символически это записывается так: lim f ( x) = A.
                                                  x → x0
         Функция f (x) может иметь в точке x0 только один предел. Это следует
из того, что последовательность { f ( x n )} имеет только один предел.
         Пример 25.
         а) Функция f ( x) = C , С = const , имеет предел в каждой точке x 0 число-
вой прямой. В самом деле, если (7) – любая последовательность, сходящаяся к
x 0 , то последовательность (8) имеет вид C, C, C, …, C, …, т. е. f ( x n ) = C. От-
сюда заключаем, что f ( xn ) → C при n → ∞ или lim f ( x) = C.
                                                           x → x0
        б) Функция f ( x) = x имеет в любой точке x 0 числовой прямой предел,
равный x0 .В этом случае последовательности (7) и (8) тождественны, т.е.
f(xn)=xn. Следовательно, если x n → x0 , то f ( xn ) → x0 при n → ∞ или
 lim f ( x) = lim x = f ( x 0 ) = x 0 .
x → x0        x → x0
        в) Функция f ( x) = sin(1 / x), определённая для всех x ≠ 0, в точке x = 0
не имеет предела. Действительно, возьмём две последовательности значений
аргумента x : 1/π, 1/(2π), 1/(3π), ..., 1/(nπ), ..., и x : 2 / π, 2 /(5π), 2 /(9π), ...,
2 /[(4n − 3)π], ..., сходящиеся к нулю. Для них соответствующими последова-
тельностями                  значений                 функции               являются:
   1      1         1            1 
 f  , f  , f  , ..., f               ,... . Так как при любом                 n
    π
          
             2π          π
                        
                        3              n π 


                                                                                     27