Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 30 стр.

                                    у




                                    0               х



                                    Рисунок 7

         4.3 Бесконечно малые и бесконечно большие функции

         4.3.1 Бесконечно малые функции

         Определение: Функция f(x) называется бесконечно малой функцией
(или просто бесконечно малой) в точке х=х0 (или при x → x0 ), если
 lim f ( x) = 0 .
x → x0

Аналогично       определяются        бесконечно   малые      функции          при
x → ∞ , x → +∞ , x → −∞ , x → x 0 − , x → x0 + .
       Можно дать равносильное определение бесконечно малой функции «на
языке ε − δ ».
       Определение: Функция f(x) называется бесконечно малой в точке х=х0,
если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x ∈ X , x ≠ x 0 , удов-
летворяющих неравенству x − x0 < δ, выполняется неравенство f ( x) < ε; или с
помощью логических символов:
        (∀ε > 0 ) (∃δ > 0) (∀x ∈ X , x ≠ x 0 , x − x 0 < δ ) : f ( x) < ε ;
       Можно определеить бесконечно малую функцию и «на языке последо-
вательностей»:
       Определение: Функция f(x) называется бесконечно малой в точке х=х0,
если для любой сходящейся к х0 последовательности (7) значений аргумента хn
отличных от х0, соответствующая последовательность (8) является бесконечно
малой.
       Определение: Функция y=f(x) называется бесконечно малой при х → а
или при х → ∞ , если lim f ( x) = 0 или lim f ( x) = 0 , т.е. бесконечно малая
                          x→a              x →∞
функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.
         Пример 27.
         а) Функция f(x)=(x–1)2 является бесконечно малой при х → 1 , т.к.
lim f ( x) = lim( x − 1)2 = 0 (см. рисунок 8)
x →1         x →1
         б) Функция f(x)=tgx – бесконечно малая при х → 0 .
         в) f(x)=ln(1+x) - бесконечно малая при х → 0 .

30