Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 32 стр.

          Возьмем δ = min{δ1,δ2}. Тогда в окрестности точки а радиуса δ будет
выполняться каждое из неравенств | α(х)|< ε /2 и |β(х)|< ε /2. Следовательно, в
этой окрестности будет f ( x ) = α ( x ) + β ( x ) ≤ α ( x ) + β ( x ) < ε / 2 + ε / 2 = ε , т.е.
 f ( x ) < ε , что и требовалось доказать. Ч.т.д.
          Теорема 17. Произведение бесконечно малой функции α(х) на ограни-
ченную функцию f(x) при х → а (или при х → ∞ ) есть бесконечно малая
функция.
          Д о к а з а т е л ь с т в о: Так как функция f(x) ограничена, то существу-
ет число М такое, что при всех значениях х из некоторой окрестности точки
а|ƒ(х)| ≤ М. Кроме того, так как α(х) – бесконечно малая функция при х→а, то
для произвольного ε > 0 найдется окрестность точки а, в которой будет вы-
полнятся неравенство |a(х)| < ε /M. Тогда в меньшей из этих окрестностей име-
ем α ( х) ⋅ f ( х) < ε / M = ε . А это и значит, что α(х) · f(x) – бесконечно малая.
Для случая х→∞ доказательство проводится аналогично. Ч.т.д.
          Из доказанной теоремы вытекают:
          Следствие 1. Если lim α ( x ) = 0 и lim β( x ) = 0 , то lim αβ = 0 .
                                x→a                 x→a                x→a
        Следствие 2. Если lim α ( x ) = 0 и c = const, то lim ca( x ) = 0 .
                                x→a                              x→a
      Теорема 18. Отношение бесконечно малой функции α(х) к функции f(x),
предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.
      Д о к а з а т е л ь с т в о : Пусть limα( x) = 0 , lim f ( x) = b ≠ 0 .
                                                    x→a         x→a
               1                                             α (х )            1
        Тогда       есть ограниченная функция. Поэтому дробь        = α (x )
             f (x )                                          f (x )          f (x )
есть произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, т.е.
функция бесконечно малая. Ч.т.д.
       Теорема 19. Для выполнения равенства lim f ( x) = A необходимо и
                                                              x → x0

достаточно, чтобы функция α( x) = f ( x) − A была бесконечно малой при
x → x0 .
        Д о к а з а т е л ь с т в о: Необходимость. Пусть lim f ( x) = A . Рас-
                                                                             x → x0
смотрим разность f ( x) − A = α( x) и покажем, что α(x) - бесконечно малая
функция при x → x0 . Действительно, пределы f(x) и А при x → x0 равны А, и
поэтому в силу теоремы 1 (пункт 5)
                     limα(x) = lim( f (x) − A) = lim f (x) − lim A = A − A = 0.
                     x→x0        x→x0                 x→x0        x→x0


      Достаточность. Пусть f ( x) − A = α( x) , где α(x) - бесконечно малая
функция при x → x0 . Покажем, что lim f ( x) = A .Так как f ( x) = A + α( x), то
                                           x → x0

                  lim f ( x) = lim ( A + α( x)) = lim A + lim α( x) = A + 0 = A .
                 x → x0        x → x0                x → x0   x → x0


32