Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

34
()
0>∀
ε
)0( >
δ
∃
(
)
.)(:,
ε
δ
>>
∈
∀
xfxXx
В заключении скажем, что между бесконечно малыми и бесконечно
большими функциями существует такая же связь, как и между соответствую-
щими последовательностями, т. е. функция, обратная бесконечно малой, явля-
ется бесконечно большой, и наоборот.
4.3.3 Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций
Было показано, что сумма, разность и произведение бесконечно малых
функций являются бесконечно малыми функциями. Этого, вообще говоря нель-
зя сказать о частном: деление одной бесконечно малой на другую может при-
вести к различным результатам. Так, например, если
x
x
=
α
)(,
x
x
2)(
=
β ,
то
=
β
α
→
)(
)(
lim
0
x
x
x
=
→
x
x
x
2
lim
0
2
1
Если же
x
x
=
α )(,
2
)( xx =β , то
=
β
α
→
)(
)(
lim
0
x
x
x
∞=
→
x
x
1
lim
0
,
=
α
β
→
)(
)(
lim
0
x
x
x
0lim
0
=
→
x
x
.
Рассмотрим правила сравнения бесконечно малых функций.
Пусть при
0
xx → функции )(
x
α
и )(
x
β
являются бесконечно малыми.
Тогда:
1) если
=
β
α
→
)(
)(
lim
0
x
x
xx
0, то )(
x
α
- бесконечно малая более высокого поряд-
ка, чем )(
x
β (говорят также, что )(
x
α
имеет более высокий порядок малости,
чем )(
x
β ; при
0
xx → );
2) если
0
)(
)(
lim
0
≠=
β
α
→
A
x
x
xx
(А – число), то )(
x
α
и )(
x
β
- бесконечно малые
одного порядка;
3) если
=
β
α
→
)(
)(
lim
0
x
x
xx
1, то )(
x
α
и )(
x
β
- эквивалентные бесконечно ма-
лые. Эквивалентность обозначается так: )(
x
α
~ )(
x
β
.
4) если
,0
)(
)(
lim
0
≠=
β
α
→
A
x
x
n
xx
то
−
α
)(
x
бесконечно малая −n го порядка
относительно ).(
x
β
Существуют аналогичные правила для сравнения бесконечно малых
функций при ,,,
∞→
∞→∞→
x
x
x
а также при
0
xx → справа и
слева. 
                           (∀ε > 0 ) (∃δ > 0) (∀x ∈ X ,   x > δ ) : f ( x) > ε .

       В заключении скажем, что между бесконечно малыми и бесконечно
большими функциями существует такая же связь, как и между соответствую-
щими последовательностями, т. е. функция, обратная бесконечно малой, явля-
ется бесконечно большой, и наоборот.

       4.3.3 Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций

        Было показано, что сумма, разность и произведение бесконечно малых
функций являются бесконечно малыми функциями. Этого, вообще говоря нель-
зя сказать о частном: деление одной бесконечно малой на другую может при-
вести к различным результатам. Так, например, если α( x) = x , β( x) = 2 x ,
       α( x)           x      1
то lim       = lim         =
   x→0 β( x)   x →0 2 x       2
                                                     α( x)         1         β( x)
        Если же α( x) = x , β( x) = x 2 , то lim            = lim = ∞ , lim        = lim x = 0 .
                                               x → 0 β( x )   x →0 x    x →0 α( x)   x →0

        Рассмотрим правила сравнения бесконечно малых функций.
        Пусть при x → x0 функции α(x) и β(x) являются бесконечно малыми.
Тогда:
                          α( x)
        1) если lim              = 0, то α(x) - бесконечно малая более высокого поряд-
                  x → x0 β( x )

ка, чем β(x) (говорят также, что α(x) имеет более высокий порядок малости,
чем β(x) ; при x → x0 );
                          α ( x)
        2) если lim              = A ≠ 0 (А – число), то α(x) и β(x) - бесконечно малые
                  x → x0 β( x )

одного порядка;
                           α( x)
        3) если lim              = 1, то α(x) и β(x) - эквивалентные бесконечно ма-
                   x → x0 β( x )

лые. Эквивалентность обозначается так: α(x) ~ β(x) .
                             α( x)
        4) если lim n               = A ≠ 0, то α(x) − бесконечно малая n − го порядка
                     x → x0 β ( x )

относительно β(x).
       Существуют аналогичные правила для сравнения бесконечно малых
       функций при x → ∞, x → −∞, x → +∞, а также при x → x0 справа и
       слева.




34

Страницы