Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

41
жуточной функции .1
sin
lim
0
=
→
x
x
x
Функция
x
xsin
не определена при х=0, так как
числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. График функции изобра-
жен на рисунке.
Пример 34.
а) 515
5
5sin5
lim
0
05sin
lim
00
=⋅==
=
→→
x
x
x
x
xx
.
б)
4
1
1
2
1
2
1
cos
1
sinsin
lim
cos
sin
lim
0
0
lim
2
2
2
22
1
2
22
1
0
2
22
2
2
0
2
2
2
0
=⋅⋅=⋅⋅==
=
→→→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
tg
.
в)
0
2
sinlim
2
sin
sin
lim
sin2
lim
0
0cos1
lim
0
2
2
0
2
2
00
====
=
−
→→→→
xx
xx
x
x
x
x
x
x
xx
.
г)
4)2(lim
)2sin(
)2)(2(
lim
0
0
)2sin(
4
lim
22
2
2
=+=
−
+−
=
=
−
−
→→→
x
x
xx
x
x
xxx
.
.
8
1
)11(4
1
)11(4
1
4sin
4
lim
4sin)11(
lim
4sin)11(
)11)(11(
lim
0
0
4sin
11
limд)
0
000
=
+
=
−+
=
=
−+
=
−+
−+−−
=
=
−−
→
→→→
x
x
x
xx
x
xx
xx
x
x
x
xxx
6.2 Второй замечательный предел
Определение:
Числом е (вторым замечательным пределом) называется
предел числовой последовательности
n
n
n
e
+=
∞→
1
1lim
....,718281,2≈e
т.е. число е - иррациональное число.
Можно показать, что функция
x
x
y
+=
1
1
при
+∞→
x
и при
−
∞→
x
,
где х, в отличие от натурального числа n, «пробегает» все значения числовой
оси (не только целые) имеет предел, равный числу е:
x
x
x
e
+=
∞→
1
1lim
. 
                          sin x                      sin x
жуточной функции lim             = 1. Функция               не определена при х=0, так как
                      x →0 x                           x
числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. График функции изобра-
жен на рисунке.
       Пример 34.
               sin 5 x  0          5 sin 5 x
       а) lim         =   = lim              = 5 ⋅1 = 5 .
          x →0    x      
                         0     x → 0    5 x

                 tg 2   x
                        2     0
                                            2 x
                                         sin 2                 1 sin x               1 sin x
                                                                                                     1             1 1    1
       б) lim               =   = lim 2             =   lim 2 x 2              ⋅   2     2
                                                                                               ⋅               =    ⋅ ⋅1 = .
           x→0    x2           0  x→0 x cos 2   x
                                                  2
                                                          x →0
                                                                  2
                                                                                        x
                                                                                        2          cos 2   x
                                                                                                           2
                                                                                                                   2 2    4

                                                  2 x
              1 − cos x  0       2 sin            2
                                                                     sin 2x            x          x
       в) lim          =   = lim                      = lim            x
                                                                                 sin     = lim sin = 0 .
          x→0     x       0  x →0 x                         x →0
                                                                         2
                                                                                       2 x →0     2

                x2 − 4      0       ( x − 2)( x + 2)
       г) lim             =   = lim                  = lim ( x + 2) = 4 .
          x→2 sin( x − 2)    0  x→2 sin( x − 2)        x →2


              1− 1− x 0              (1 − 1 − x )(1 + 1 − x )               x
        д) lim           =   = lim                            = lim                      =
          x→0 sin 4 x        0  x→0 (1 + 1 − x ) sin 4 x        x→0 (1 + 1 − x ) sin 4 x

                  4x           1           1       1
          = lim                       =         = .
            x→0 sin 4 x 4(1 + 1 − x )   4(1 + 1) 8

      6.2 Второй замечательный предел

       Определение: Числом е (вторым замечательным пределом) называется
предел числовой последовательности
                                                                     n
                                                    1
                                         e = lim 1 + 
                                             n →∞   n

e ≈ 2,718281...., т.е. число е - иррациональное число.
                                                                             x
       Можно показать, что функция y = 1 + 1  при x → +∞ и при x → −∞ ,
                                            x
где х, в отличие от натурального числа n, «пробегает» все значения числовой
оси (не только целые) имеет предел, равный числу е:
                                                          x
                                               1
                                     e = lim 1 +  .
                                         x →∞   x


                                                                                                                          41

Страницы