Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

49
[
]
0)()(lim
0
0
0
=
−
→−
xfxf
xx
(12)
Определение: Разность х-х
0
называется приращением аргумента х в точ-
ке х
0
и обозначается, как правило, ∆х, а разность f(x) - f(x
0
) – приращением
функции в точке х
0
, вызванным приращением аргумента ∆х, и обозначается ∆у.
Таким образом,
∆х=х-х
0
, ∆у= f(x)-f(x
0
).
При фиксированной точке х
0
∆у является функцией аргумента ∆х. Гео-
метрический смысл приращений ясен из рисунке13. Равенство (12) в новых
обозначениях принимает вид
0lim
0
=
∆
→∆
y
x
(13)
Соотношение (13) является ещё одним определением непрерывности
функции, которое можно сформулировать так.
Определение: Функция называется непрерывной в точке х
0
, если её
приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при .0→∆
x
Последнее определение для практического использования бывает иногда бо-
лее удобным, и им довольно часто пользуются.
Теорема 29.
Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x
0.
. Тогда
функции ,)()(
x
g
x
f
± )()(
x
g
x
f
⋅ и
)(
)(
xg
xf
также непрерывны в этой точке (по-
следняя при 0)( ≠
x
g
). ( Без доказательства)
х
Рисунок 13
f
(x
0
)
f
(x
0
+∆x)
y
=f(x)
x
0
+∆x
x
0
у
0
∆х
()
)
00
xfxxfу −∆+
=
∆
                                    lim [ f ( x) − f ( x0 )] = 0                              (12)
                                   x − x0 → 0



       Определение: Разность х-х0 называется приращением аргумента х в точ-
ке х0 и обозначается, как правило, ∆х, а разность f(x) - f(x0) – приращением
функции в точке х0, вызванным приращением аргумента ∆х, и обозначается ∆у.
Таким образом,

                                       ∆х=х-х0, ∆у= f(x)-f(x0).

      При фиксированной точке х0 ∆у является функцией аргумента ∆х. Гео-
метрический смысл приращений ясен из рисунке13. Равенство (12) в новых
обозначениях принимает вид

                                      lim ∆y = 0                                              (13)
                                     ∆x → 0


       Соотношение (13) является ещё одним определением непрерывности
функции, которое можно сформулировать так.
       Определение: Функция называется непрерывной в точке х0, если её
приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при ∆x → 0.
Последнее определение для практического использования бывает иногда бо-
лее удобным, и им довольно часто пользуются.
                              у
                                                        y=f(x)
                      f(x0+∆x)

                                                                   ∆у = f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 )

                           f(x0)
                                                       ∆х
                              0                 x0          x0+∆x       х


                                            Рисунок 13
      Теорема 29. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x0.. Тогда
                                             f ( x)
функции f ( x) ± g ( x) , f ( x) ⋅ g ( x) и         также непрерывны в этой точке (по-
                                             g ( x)
следняя при g ( x) ≠ 0 ). ( Без доказательства)




                                                                                                 49

Страницы