Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 51 стр.

емся последним определением непрерывности функции. Задав аргументу х
приращение ∆x , получим приращение функции
                                                       ∆x   ∆x
      ∆y = sin ( x + ∆x) − sin x , или ∆y = 2 cos( x + ) sin .
                                                        2    2
      Переходя к пределу в левой части равенства при ∆x → 0 , получаем
                                                    ∆x    ∆x 
                          lim ∆y = 2 lim cos( x + ) sin  = 0 ,
                         ∆x →0        ∆х →0          2     2
      так как cos( x + ∆x / 2) ≤ 1,

                 ∆x       sin( ∆x / 2)     ∆x 1
       lim sin      = lim              lim   = ⋅ 1 ⋅ lim ∆x = 0 ,
       ∆x →0     2 ∆x→0 ∆x / 2 ∆x→0 2 2              ∆x → 0


        а произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть бес-
конечно малая. Таким образом, функция sin x непрерывна в любой точке х.
Непрерывность функции cos x в любой точке х доказывается аналогично.
        Из непрерывности функций cos x и sin x по теореме 29 следует непре-
рывность функций tg x=sinx /cosx и sec x=1/cos x во всех точках, где cos x ≠ 0,
т. е. во всех точках, кроме x = π / 2 + πn, и функций ctgx= cosx/sinx и cosec
x=1/sin x во всех точках, кроме x = nπ (n = 0, ± 1, ± 2,...).

     9.3 Непрерывность функции f ( x) = x .

       Функция f ( x) = x , график которой изображён на рисунке 14, определе-
на и непрерывна во всех точках числовой прямой. Действительно, в точках ин-
тервала (0,+∞) она непрерывна, так как при x > 0 f ( x) = x (см. п. 9.1). В
точках интервала (−∞,0) функция f (x) также непрерывна, так как при
x < 0 f ( x) = − x, её можно представить как произведение двух непрерывных
функций (-1) и x и применить теорему 4.7 о непрерывности произведения. Что-
бы установить непрерывность функции x в точке x=0, вычислим односторон-
ние пределы функции в этой точке:
        lim x = lim (− x) = − lim x = 0; lim x = lim x = 0.
       x →0 −     x →0 −       x →0 −       x →0 +    x →0 +
       Пределы функции в точке x = 0 слева и справа совпадают и равны зна-
чению функции в этой точке. Отсюда следует, что функция x непрерывна в
точке x = 0 и, следовательно, непрерывна во всех точках числовой прямой.




                                                                             51