Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 53 стр.

      10 Основные свойства непрерывных функций

         Теорема 30. Пусть функция f(x) непрерывна в точке x0 и f ( x0 ) ≠ 0. То-
гда существует δ > 0 такое, что для всех x ∈ ( x0 − δ, x0 + δ) функция f (x) имеет
тот же знак, что f ( x 0 ) .
         Рассмотрим некоторые свойства функций, непрерывных на отрезке. Эти
свойства приведем без доказательства.
         Определение: Функцию у = f(x) называют непрерывной на отрезке [a,b],
если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах,
т.е. в точках а и b, непрерывна соответственно справа и слева.
         Теорема 31. Функция, непрерывная на отрезке [a,b], хотя бы в одной
точке этого отрезка принимает наибольшее значение и хотя бы в одной – наи-
меньшее.
                          у




                        0   а      х2           х 2′   b=x1       х

                                   Рисунок 15
            Теорема утверждает, что если функция у = f(x) непрерывна на отрезке
[a,b], то найдется хотя бы одна точка х1∈ [a,b] такая, что значение функции f(x)
в этой точке будет самым большим из всех ее значений на этом отрезке:
 f ( x1 ) ≥ f ( x ) для ∀х ∈ [а; b]. Аналогично найдется такая точка х2, в которой зна-
чение функции будет самым маленьким из всех значений на отрезке:
 f ( x 2 ) ≤ f ( x ) ∀х ∈ [а; b]. Ясно, что таких точек может быть и несколько, напри-
мер, на рисунке 15 показано, что функция f(x) принимает наименьшее значение
в двух точках х 2 и х 2′ .
            Замечание: Утверждение теоремы можно стать неверным, если рассмот-
реть значение функции на интервале (а,b). Действительно, если рассмотреть
функцию у = х на (0,2) , то она непрерывна на этом интервале, но не достигает в
нем ни наибольшего, ни наименьшего значений: она достигает этих значений
на концах интервала, но концы не принадлежат нашей области. Также теорема
перестает быть верной для разрывных функций.
            Теорема 32. Пусть функция у=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на кон-
цах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда внутри отрезка
[a,b] найдется, по крайней мере, одна точка х=с, в которой функция обращается
в ноль: f (с ) = 0 где а<с