Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 54 стр.

      Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если точки графика
непрерывной функции y=f(x), соответствующие концам отрезка [а,b] лежат по
разные стороны от оси Ох, то этот график хотя бы в одной точке отрезка пере-
секает ось Ох. Разрывные функции этим свойством могут не обладать,
рисунок 16.
                        у
                         f(b)



                              0                с              b       х

                         f(a)     а
                                          Рисунок 16

          Эта теорема допускает следующее обобщение.
          Теорема 33 (теорема о промежуточных значениях). Пусть функция
 у = f ( x ) непрерывна на отрезке [a,b] и f(a) = A, f(b) = B. Тогда для любого чис-
ла С, заключенного между А и В, найдется внутри этого отрезка такая точка с∈
[a,b], что f(c) = C.
          Эта теорема геометрически (рисунок 17) очевидна. Рассмотрим график
функции у = f ( x ). Пусть f(a) = A, f(b) = B. Тогда любая прямая у = С, где С –
любое число, заключенное между А и В, пересечет график функции, по крайней
мере, в одной точке. Абсцисса точки пересечения и будет тем значением х = С,
при котором f(c) = C.
          Таким образом, непрерывная функция, переходя от одного своего значе-
ния к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения. В ча-
стности:
          Следствие. Если функция у = f ( x ) непрерывна на некотором интервале
и принимает наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она
принимает, по крайней мере, один раз любое значение, заключенное между ее
наименьшим и наибольшим значениями.
                            у

                          B


                          C
                          A

                          0       а   c         с′     с ′′   b   х

                                      Рисунок 17

54