Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

56
11 Классификация точек разрыва функции
11.1 Определение и классификация точек разрыва функции
Определение:
Точка х
0
называется точкой разрыва функции f(x), если
f(x) в точке x
0
не является непрерывной.
Разрывы функций классифицируются следующим образом.
Р а з р ы в 1-го р о д а. Точка х
0
называется точкой разрыва 1-го рода
функции f(x), если в этой точке f(x) имеет конечные, но не равные друг другу
правый и левый пределы:
≠
+→
)(lim
0
0
xf
xx
.)(lim
0
0
xf
xx −→
Пример 51. Для функции f(x)=sgn x точка x=0 является точкой разрыва
1-го рода, так как
,1sgnlim
00
=
+→x
1sgnlim
00
−
=
−→x
.
Р а з р ы в 2-го р о д а. Точка х
0
называется точкой разрыва 2-го рода
функции f(x), если в этой точке функция не имеет, по крайней мере, одного из
односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов беско-
нечен.
Пример 52.
Для функции
x
xf
1
)( = точка х=0 является точкой разрыва 2-
го рода, так как
,)/1(lim
00
+∞=
+→
x
x
.)/1(lim
00
−
∞
=
−→
x
x
Пример 53. Исследовать непрерывность в точке х=0 заданных функций:
а)
;
1
x
y = б)
<−
≥+
=
;01
,01
xприx
хприx
y в)
=
≠
=
;01
,0
2
xпри
хприx
y г).
2
xy =
Решение.
а ) В точке х=0 функция )(
x
f
y
=
не является непрерывной, так как на-
рушено первое условие непрерывности –существование ).0(
f
Рисунок 18
y
0
x
a
)
0
1
-1
x
y
б
)
0
y
г
)
в
)
0
•1
y
     11 Классификация точек разрыва функции

     11.1 Определение и классификация точек разрыва функции

        Определение: Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если
f(x) в точке x0 не является непрерывной.
        Разрывы функций классифицируются следующим образом.
        Р а з р ы в 1-го р о д а. Точка х0 называется точкой разрыва 1-го рода
функции f(x), если в этой точке f(x) имеет конечные, но не равные друг другу
правый и левый пределы:
                                          lim      f ( x) ≠ lim        f ( x) .
                                      x → x0 + 0          x → x0 − 0

       Пример 51. Для функции f(x)=sgn x точка x=0 является точкой разрыва
1-го рода, так как lim sgn = 1 , lim sgn = −1 .
                     x →0 + 0             x →0 − 0
       Р а з р ы в 2-го р о д а. Точка х0 называется точкой разрыва 2-го рода
функции f(x), если в этой точке функция не имеет, по крайней мере, одного из
односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов беско-
нечен.
                                        1
      Пример 52. Для функции f ( x) = точка х=0 является точкой разрыва 2-
                                        x
го рода, так как lim (1 / x) = +∞, lim (1 / x) = −∞.
                  x →0 + 0                 x →0 − 0

     Пример 53. Исследовать непрерывность в точке х=0 заданных функций:
            1          x + 1 при х ≥ 0,         x 2 при х ≠ 0,
      а) y = ; б) y =                   в) y =                 г) y = x 2 .
            x          x − 1 при x < 0;        1 при x = 0;

     y                          y                                      y              y


                                1                                          •1
     0        x                 0                    x             0              x   0    x
                                     -1


         a)                     б)                                     в)             г)

                                          Рисунок 18

      Решение.
      а ) В точке х=0 функция y = f (x) не является непрерывной, так как на-
рушено первое условие непрерывности –существование f (0).

56

Страницы