Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 58 стр.

      12 Понятие сложной функции

        Определение: Если на некотором промежутке Х определена функция
z = ϕ (x) с множеством значений Z, а на множестве Z определена функция
y = f (z ), то функция y = f [ϕ ( x)] называется сложной функцией от x , а пере-
менная z - промежуточной переменной сложной функции.
        Пример 55. Функция y = sin x 2 - сложная функция, определённая на
всей числовой прямой, так как y = f ( z ) = sin z , z = ϕ ( x) = x 2 .
        Теорема 36. Пусть функция z = ϕ(x) непрерывна в точке х0, а функция
y = f (z ) непрерывна в точке z0 = ϕ ( x0 ) . Тогда сложная функция z = f [ϕ ( x)]
непрерывна в точке х0.
        Д о к а з а т е л ь с т в о: Возьмём из Х любую последовательность то-
чек
        х1, х2, х3, …, хn, …,сходящуюся к точке х0. Тогда в силу непрерывности
функции z=φ(x) в точке х0 имеем: lim z n = lim ϕ ( xn ) = ϕ ( xn ) =z0 , т. е. соответ-
                                         n →∞   n→∞
ствующая последовательность точек z1, z2, z3, …, zn, …сходится к точке z0. В
силу же непрерывности функции f(z) в точке z0 получаем
       lim f ( z n ) = f ( z 0 ) , т. е. lim f [ϕ( x n )] = f [ϕ( x 0 )] .
        n →∞                      n →∞
        Следовательно, предел функции f [ϕ( x)] в точке х0 равен её значению в
этой точке, что и доказывает непрерывность сложной функции f [ϕ( x)] в точке
х0. Ч.т.д.




58