Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

57
б) В точке х=0 функция )(
x
f
y
=
(рисунок 18б) не является непрерыв-
ной –первое условие непрерывности выполнено, ),1)0((
=
f
но нарушено вто-
рое условие – отсутствует
)(lim
0
xf
x→
( точнее говоря, здесь существуют одно-
сторонние пределы функции слева
1)(lim
0
−
=
−→
xf
x
и справа
,1)(lim
0
=
+→
xf
x
но
общего предела при 0→
x
не существует).
в) В точке х=0 функция )(
x
f
y
=
(рисунок 18в) не является непрерыв-
ной –первые два условия непрерывности выполнены –существуют 1)0(
=
f
и
конечный предел ,0)(lim
0
=
→
xf
x
но нарушено третье основное усло-
вие:).0()(lim
0
fxf
x
≠
→
г) В точке х=0 функция )(
x
f
y
=
(рисунок 18г) непрерывна, так как
выполнены все три условия непрерывности -.0)0()(lim
0
=
=
→
fxf
x
11.2 Кусочно–непрерывные функции
Определение:
Функция f(x) называется кусочно-непрерывной на отрезке
[]
ba,, если она непрерывна во всех внутренних точках отрезке
[]
ba,, за исклю-
чением, быть может, конечного числа точек, в которых имеет разрыв 1-го рода
и, кроме того, имеет односторонние пределы в точках a и b.
Пример 54. Функция
[
]
xxf
=
)( кусочно-непрерывна как на любом от-
резке, так и на всей числовой прямой. График функции
[]
xxf =)( изображен на
рисунке 19, функция
[]
x в точках x=n ...),2,1,0(
±
±
=
n непрерывна справа и раз-
рывна слева. Во всех других точках она непрерывна как справа, так и слева (ри-
сунок 19).
х
-1
-2
-
3
4
3
2
1
-3 -2 -1
1 2 3 4 5
у
Рисунок 19 
      б) В точке х=0 функция y = f (x) (рисунок 18б) не является непрерыв-
ной –первое условие непрерывности выполнено, ( f (0) = 1), но нарушено вто-
рое условие – отсутствует lim f ( x) ( точнее говоря, здесь существуют одно-
                                  x→0
сторонние пределы функции слева lim f ( x) = −1 и справа lim f ( x) = 1, но
                                              x →0 −              x →0 +
общего предела при x → 0 не существует).
      в) В точке х=0 функция y = f (x) (рисунок 18в) не является непрерыв-
ной –первые два условия непрерывности выполнены –существуют f (0) = 1 и
конечный предел      lim f ( x) = 0, но нарушено третье основное усло-
                           x →0
вие: lim f ( x) ≠ f (0).
     x →0
      г) В точке х=0 функция y = f (x) (рисунок 18г) непрерывна, так как
выполнены все три условия непрерывности - lim f ( x) = f (0) = 0.
                                                       x →0


       11.2 Кусочно–непрерывные функции

         Определение: Функция f(x) называется кусочно-непрерывной на отрезке
[a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках отрезке [a, b], за исклю-
чением, быть может, конечного числа точек, в которых имеет разрыв 1-го рода
и, кроме того, имеет односторонние пределы в точках a и b.
         Пример 54. Функция f ( x) = [x ] кусочно-непрерывна как на любом от-
резке, так и на всей числовой прямой. График функции f ( x) = [x ] изображен на
рисунке 19, функция [x ] в точках x=n ( n = 0,±1,±2, ...) непрерывна справа и раз-
рывна слева. Во всех других точках она непрерывна как справа, так и слева (ри-
сунок 19).
                                 у

                                        4
                                        3
                                        2
                                        1
                            -3 -2 -1
                                            -1 1 2 3 4 5      х
                                            -2
                                            -3


                                            Рисунок 19




                                                                               57

Страницы