Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

59
13 Понятие производной
13.1 Определение производной
   
(
)
xfу
=
,   
.     х    
()
xfу =   .
   :  х
0
 х. 
0
хх −    х  х
0
 ∆x.
 , ∆x = х – х
0
(     -
,  ).    , 
ххх ∆+=
0
, ..     
. ,   х
0
   f(x
0
),  
 х     f(x) = f(x
0
+ ∆x). 
() ( )
00
xfxfуу −=−  приращением функции
()
xfу =  х
0
  y.  ,
∆y = f(x) - f(x
0
) = f(x
0
+ ∆x) - f(x) (14)
    х
0
 ,
  х – .  у
0
= f(x
0
)  ,
()
xfу = - .  ∆y ∆x    -
 (14) ,  y∆    ∆x.
     
()
(
)
(
)
(
)
x
xfxf
x
xfxxf
x
у
∆
−
=
∆
−
∆
+
=
∆
∆
000
     ∆x→0.    -
,    производной данной функции f(x)  х
0

f '(x
0
). ,
()
(
)
(
)
x
xfxxf
x
y
xf
xx
∆
−
∆
+
=
∆
∆
=
′
→∆→∆
00
00
0
limlim .
х
x
f
(х
0
)
у
y
f
(х)
y
=f(х)
x
x
0
y
y
y
0
0 
      13 Понятие производной

      13.1 Определение производной

         Пусть имеем некоторую функцию у = f ( x ), определенную на некотором
промежутке. Для каждого значения аргумента х из этого промежутка функция
у = f ( x ) имеет определенное значение.
         Рассмотрим два значения аргумента: исходное х0 и новое х. Разность
х − х 0 называется приращением аргумента х в точке х0 и обозначается ∆x.
                             у
                                                     y=f(х)
                                                  f(х)
                             y
                            ∆y                          ∆y
                            y0
                                          f(х0)

                             0          x0          x           х
                                             ∆x

         Таким образом, ∆x = х – х0 (приращение аргумента может быть как по-
ложительным, так и отрицательным). Из этого равенства следует, что
х = х 0 + ∆х , т.е. первоначальное значение переменной получило некоторое
приращение. Тогда, если в точке х0 значение функции было f(x0), то в новой
точке х функция будет принимать значение f(x) = f(x0 + ∆x). Разность
 у − у 0 = f ( x ) − f ( x 0 ) называется приращением функции у = f ( x ) в точке х0 и
обозначается символом ∆y. Таким образом,

                       ∆y = f(x) - f(x0) = f(x0 + ∆x) - f(x)                     (14)

          Обычно исходное значение аргумента х0 считается фиксированным,
а новое значение х – переменным. Тогда у0 = f(x0) оказывается постоянной, а
 у = f ( x ) - переменной. Приращение ∆y и ∆x также будут переменными и фор-
мула (14) показывает, что ∆y является функцией переменной ∆x.
          Составим отношение приращения функции к приращению аргумента

                        ∆у f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) f ( x ) − f ( x 0 )
                             =                        =
                        ∆x              ∆x                    ∆x
          Найдем предел этого отношения при ∆x→0. Если этот предел существу-
ет, то его называют производной данной функции f(x) в точке х0 и обозначают
f '(x0). Итак,
                                       ∆y         f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 )
                     f ′( x 0 ) = lim     = lim                              .
                                 ∆x →0 ∆x  ∆x → 0           ∆x
                                                                                   59

Страницы