Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

61
Таким образом, касательной к кривой в данной точке М
0
называется
предельное положение секущей М
0
М, когда точка М стремится вдоль кривой к
точке М
0
.
Рассмотрим теперь непрерывную функцию y = f(х) и соответствующую
этой функции кривую (рисунок 21). При некотором значении х
0
функция при-
нимает значение y
0
= f(х
0
). Этим значениям х
0
и
у
0
на кривой соответствует
точка М
0
(х
0
;у
0
). Дадим аргументу х
0
приращение ∆x. Новому значению аргумен-
та соответствует значение функции y
0
+ ∆y = f(х
0
+ ∆x). Получаем точку М(х
0
+
∆х; у
0
+ ∆у). Проведем секущую М
0
М и обозначим через φ угол, образованный
секущей с положительным направлением оси Ох. Составим отношение
x
y
∆
∆
и
заметим, что
.
x
y
tg
∆
∆
=ϕ
Если теперь ∆х → 0, то в силу непрерывности функции ∆у → 0, и поэто-
му точка М, перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к точке М
0
.
Тогда секущая М
0
М будет стремиться занять положение касательной к кривой
к точке М
0
, а угол φ → α при ∆х → 0, где через α обозначали угол между каса-
тельной и положительным направлением оси Ох. Поскольку функция tgφ не-
прерывно зависит от φ при φ ≠ π/2 то при φ→α tgφ→tgα и, следовательно, угло-
вой коэффициент касательной будет:
Рисунок 20
•
М
′
М
0
•
М
″
х
у
М
0
Рисунок 21
∆x
α
α
у
у
0
∆y
φ
φ
у
= f(x)
М
0
у
0
у
0
+ ∆у
М
х
0
+ ∆х
х
0
0
                               у
                                                     М0
                               М                •
                                       •        М″
                                       М′
                               0                                    х

                                   Рисунок 20

       Таким образом, касательной к кривой в данной точке М0 называется
предельное положение секущей М0 М, когда точка М стремится вдоль кривой к
точке М0.
       Рассмотрим теперь непрерывную функцию y = f(х) и соответствующую
этой функции кривую (рисунок 21). При некотором значении х0 функция при-
нимает значение y0 = f(х0). Этим значениям х0 и у0 на кривой соответствует
точка М0(х0;у0). Дадим аргументу х0 приращение ∆x. Новому значению аргумен-
та соответствует значение функции y0 + ∆y = f(х0 + ∆x). Получаем точку М(х0 +
∆х; у0 + ∆у). Проведем секущую М0 М и обозначим через φ угол, образованный
                                                                        ∆y
секущей с положительным направлением оси Ох. Составим отношение             и
                                                                        ∆x
                    ∆y
заметим, что tgϕ =     .
                    ∆x
                              у
                                                    М
                        у0 + ∆у
                                                        у = f(x)
                               М0           α   φ              ∆y
                          у0
                                                     ∆x
                                                              у0
                      φ            α
                           0           х0                 х0 + ∆х

                                   Рисунок 21

       Если теперь ∆х → 0, то в силу непрерывности функции ∆у → 0, и поэто-
му точка М, перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к точке М0.
Тогда секущая М0 М будет стремиться занять положение касательной к кривой
к точке М0, а угол φ → α при ∆х → 0, где через α обозначали угол между каса-
тельной и положительным направлением оси Ох. Поскольку функция tgφ не-
прерывно зависит от φ при φ ≠ π/2 то при φ→α tgφ→tgα и, следовательно, угло-
вой коэффициент касательной будет:



                                                                           61

Страницы