Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

63
14 Дифференцируемость функций. Непрерывность дифференци-
руемой функции
14.1 Понятие дифференцируемости функции в данной точке
Определение:
Функция )(
x
f
y
=
называется дифференцируемой в точке
х
0
, если её приращение y∆ в данной точке можно представить в виде
x
x
x
A
y
∆
∆
α
+
∆
=
∆ )( , (16)
где А- некоторое число, не зависящее от
x
∆
, а )(
x
∆
α
- функция аргумента
x
∆
,
являющаяся бесконечно малой при ,0→
∆
x
т. е.
0)(lim
0
=
∆
α
→∆
x
x
.
Установим связь между дифференцируемостью функции в данной точке
и существованием производной в той же точке.
Теорема 37. Для того чтобы функция )(
x
f
y
=
была дифференцируемой
в точке х
0
, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную
производную.
Доказательство: Необходимость. Пусть функция )(
x
f
y = диф-
ференцируема в точке х
0
, т. е. её приращение в этой точке можно представить в
виде (16):
x
x
x
A
y ∆∆α
+
∆=∆ )(. Поделим это равенство на
x
∆ (при 0
≠
∆
x
),
получим:
).( xA
x
y
∆α+=
∆
∆
Переходя к пределу при ,0→∆
x
имеем
.))((limlim
00
AxA
x
y
xx
=∆α+=
∆
∆
→∆→∆
отсюда следует, что производная в точке х
0
существует и равна А: .)(
0
Axf
=
′
Достаточность. Пусть существует конечная производная ),(
0
xf
′
т.е.
).(lim
0
0
xf
x
y
x
′
=
∆
∆
→∆
Пусть ;)(
0
Axf
=
′
тогда функция
A
x
y
x −
∆
∆
=∆α )( является
бесконечно малой при 0→∆
x
. Из последнего равенства имеем
),(
x
x
A
y
∆
α
+
∆
=
∆
где
.0)(lim
0
=∆α
→∆
x
x
Получено представление (16), тем самым доказано,
что функция )(
x
f
y = дифференцируема в данной точке х
0
. 
     14 Дифференцируемость функций. Непрерывность дифференци-
руемой функции

     14.1 Понятие дифференцируемости функции в данной точке

        Определение: Функция y = f (x) называется дифференцируемой в точке
х0, если её приращение ∆y в данной точке можно представить в виде

                               ∆y = A∆x + α(∆x) ∆x ,                       (16)

где А- некоторое число, не зависящее от ∆x , а α(∆x) - функция аргумента ∆x ,
являющаяся бесконечно малой при ∆x → 0, т. е. lim α(∆x) = 0 .
                                                  ∆x →0
       Установим связь между дифференцируемостью функции в данной точке
и существованием производной в той же точке.
       Теорема 37. Для того чтобы функция y = f (x) была дифференцируемой
в точке х0, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную
производную.
       Д о к а з а т е л ь с т в о : Необходимость. Пусть функция y = f (x) диф-
ференцируема в точке х0 , т. е. её приращение в этой точке можно представить в
виде (16): ∆y = A∆x + α(∆x) ∆x . Поделим это равенство на ∆x (при ∆x ≠ 0 ),
получим:
                                        ∆y
                                           = A + α (∆x).
                                        ∆x

Переходя к пределу при ∆x → 0, имеем

                              ∆y
                         lim     = lim ( A + α (∆x)) = A .
                        ∆x →0 ∆x   ∆x →0


отсюда следует, что производная в точке х0 существует и равна А: f ′( x0 ) = A.
       Достаточность. Пусть существует конечная производная f ′( x0 ), т.е.
     ∆y                                                         ∆y
 lim    = f ′( x0 ). Пусть f ′( x0 ) = A; тогда функция α(∆x) =    − A является
∆x→0 ∆x                                                         ∆x
бесконечно малой при ∆x → 0 . Из последнего равенства имеем

                                    ∆y = A∆x + α(∆x),

       где   lim α(∆x) = 0. Получено представление (16), тем самым доказано,
             ∆x →0
что функция y = f (x) дифференцируема в данной точке х0.


                                                                             63

Страницы