Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 65 стр.

                                  ∆y
      Таким образом, отношение        при ∆х → 0 справа и слева имеет раз-
                                  ∆x
личные пределы, а это значит, что отношение предела не имеет, т.е. производ-
ная функции у=|x| в точке х=0 не существует. Геометрически это значит, что в
точке х=0 данная "кривая" не имеет определенной касательной (в этой точке их
две).
                                   y




                                            0           x

                                         Рисунок 23

      2 Функция y = 3 x (рисунок 24) определена и непрерывна на всей чи-
словой прямой. Выясним, имеет ли эта функция производную при х=0.
          f ( x + ∆x ) = f (∆x ) = 3 ∆x
          ∆y = f (∆x ) − f (0 ) = 3 ∆x
                         3
                ∆y         ∆x           1
           lim     = lim      = lim         = +∞
          ∆x →0 ∆x  ∆x →0 ∆x   ∆x → 0     2
                                      ∆x 3
       Следовательно, рассматриваемая функция не дифференцируема в точке
х = 0. Касательная к кривой в этой точке образует с осью абсцисс угол π/2, т.е.
совпадает с осью Оу.
                                      y



                                                       у=3 х

                                           0
                                                               x



                                          Рисунок 24




                                                                             65