Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

66
14.2 Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности
Теорема 38.
Если функция )(
x
f
y
=
дифференцируема в данной точке
х
0
, то она и непрерывна в этой точке.
Доказательство: Так как функция )(
x
f
y
=
дифференцируема в
точке х
0
, то её приращение в этой точке может быть представлено соотношени-
ем (16) . Тогда, переходя к пределу при ,0→
∆
x
получаем
,0lim)(limlimlim
0000
=
∆
∆
α
+
∆
=∆
→∆→∆→∆→∆
xxxAy
xxxx
что и означает непрерывность функции )(
x
f
y
=
в точке х
0
согласно третьему
определению непрерывности функции в точке.
Замечание. Обратное утверждение неверно. Функция может быть
непрерывной в точке, но не быть дифференцируемой, т. е. не иметь производ-
ной в этой точке. (Примером такой функции является
xy
=
, непрерывна, но не
дифференцируемая в точке х=0). 
      14.2 Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности

        Теорема 38. Если функция y = f (x) дифференцируема в данной точке
х0, то она и непрерывна в этой точке.
        Д о к а з а т е л ь с т в о : Так как функция y = f (x) дифференцируема в
точке х0, то её приращение в этой точке может быть представлено соотношени-
ем (16) . Тогда, переходя к пределу при ∆x → 0, получаем

                       lim ∆y = A lim ∆x + lim α(∆x) lim ∆x = 0,
                       ∆x →0      ∆x →0    ∆x →0      ∆x →0


что и означает непрерывность функции y = f (x) в точке х0 согласно третьему
определению непрерывности функции в точке.
       З а м е ч а н и е . Обратное утверждение неверно. Функция может быть
непрерывной в точке, но не быть дифференцируемой, т. е. не иметь производ-
ной в этой точке. (Примером такой функции является y = x , непрерывна, но не
дифференцируемая в точке х=0).




66

Страницы