Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

68
Дифференциалом независимой переменной х назовём приращение этой
переменной .
x
d
х
∆= Соотношение (18) принимает теперь вид
dxxfdy )(
0
′
=
. (19)
Заметим, что с помощью равенства (19) производную )(
0
xf
′
можно вы-
числить как отношение дифференциала функции dy к дифференциалу dx неза-
висимой переменной, т. е.
.)(
0
dx
dy
xf =
′
Дифференциал функции имеет следующий геометрический смысл:
дифференциал dy для функции y=f(x) в точке x
0
численно равен приращению
«ординаты касательной» MS к графику этой функции в точке М (x
0
,
f(x
0
)), а приращение функции y∆ есть приращение «ординаты самой функции»
y=f(x) в точке x
0
, соответствующее приращению аргумента, равному
x
∆
(ри-
сунок 25).
15.2 Приближённые вычисления с помощью дифференциала
Из определения дифференциала следует, что он зависит линейно от
x
∆
и
является главной частью приращения функции y
∆
. Само же y∆ зависит от
x
∆
более сложно. Например, если f(x)=x
3
, то ,)()(33)(
32
0
2
0
3
0
3
0
xxxxxxxxy ∆+∆+∆=−∆+=∆
в то время как
.3
)(
lim)(
2
0
3
0
3
0
0
0
xxx
x
xxx
xxfdy
x
∆=∆
∆
−∆+
=∆
′
=
→∆
Во многих задачах приращение функции заменяют дифференциалом
функции в этой точке:
dyy
≈
∆
.
Тогда
Рис
у
нок 25
Q
N
х
α
α
M
x
0
+∆x
x
0
=f(x)
dy
S
P
у
0
∆х
∆у
      Дифференциалом независимой переменной х назовём приращение этой
переменной dх = ∆x. Соотношение (18) принимает теперь вид

                                   dy = f ′( x0 )dx .                                     (19)

      Заметим, что с помощью равенства (19) производную f ′( x0 ) можно вы-
числить как отношение дифференциала функции dy к дифференциалу dx неза-
висимой переменной, т. е.
                                          dy
                               f ′( x0 ) = .
                                          dx
         Дифференциал функции имеет следующий геометрический смысл:
дифференциал dy для функции y=f(x) в точке x0 численно равен приращению
«ординаты касательной» MS к графику этой функции в точке           М (x0,
f(x0)), а приращение функции ∆y есть приращение «ординаты самой функции»
y=f(x) в точке x0, соответствующее приращению аргумента, равному ∆x (ри-
сунок 25).              у
                                                         P        S
                                                         Q
                                                                  ∆у
                                                         dy
                                           M α                N
                                y=f(x)              ∆х
                                   α
                           0                x0           x0+∆x         х
                                       Рисунок 25
      15.2 Приближённые вычисления с помощью дифференциала

       Из определения дифференциала следует, что он зависит линейно от ∆x и
является главной частью приращения функции ∆y . Само же ∆y зависит от ∆x
более сложно. Например, если f(x)=x3, то ∆y =(x0 + ∆x)3 − x03 =3x02∆x +3x0(∆x)2 + (∆x)3,
в то время как
                                              ( x 0 + ∆x) 3 − x0 3 
                           ′          
                    dy = f ( x 0 )∆x = lim                             ∆x = 3 x 0 2 ∆x.
                                       ∆x → 0          ∆x           
                                                                    

      Во многих задачах приращение функции заменяют дифференциалом
функции в этой точке:
                            ∆y ≈ dy .
      Тогда


68

Страницы