Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 67 стр.

      15 Понятие дифференциала

      15.1 Определение и геометрический смысл дифференциала

       Определение: Функция у=f(x) называется дифференцируемой в некото-
рой точке х0, если она имеет в этой точке определенную производную, т.е. если
                    ∆y
предел отношения       существует и конечен.
                    ∆x
       Определение: Если функция дифференцируема в каждой точке некото-
рого отрезка [a;b] или интервала (a;b), то говорят, что она дифференцируема на
отрезке [a;b] или соответственно в интервале в интервале (a;b).
       Напомним, что если функция y = f (x) дифференцируема в точке х0, то
её приращение ∆y в этой точке можно записать в виде двух слагаемых:

                                       ∆y = A∆x + α(∆x) ∆x,

где lim α(∆x) = 0 . Слагаемое A∆x является при ∆x → 0 бесконечно малой од-
    ∆x → 0
ного порядка с ∆x (при A ≠ 0 ), оно линейно относительно ∆x. Слагаемое
α(∆x)∆x при ∆x → 0 - бесконечно малая более высокого порядка, чем ∆x
       α(∆x)∆x     
 lim           = 0 .
 ∆x →0   ∆x        
         Таким образом, первое слагаемое (при A ≠ 0 ) является главной частью
приращения функции y = f (x) .
         Определение: Дифференциалом функции y = f (x) в точке х0 называется
главная, линейная относительно ∆x , часть приращения функции в этой точке:

                                        dy = A∆x .                                           (17)

       Если А=0, то A∆x = 0 , и поэтому слагаемое A∆x уже не является глав-
ной частью приращения ∆y , так как слагаемое α(∆x)∆x , вообще говоря, отлич-
но от нуля. Однако и в этом случае по определению полагаем дифференциал
функции в точке х0 равным A∆x , т.е. здесь dy = 0 .
       Принимая во внимание теорему 37, т. е. учитывая, что A = f ′( x0 ) , фор-
мулу (17) можно записать в виде

                                      dy = f ′( x0 )∆x .                                     (18)

        Пусть f ( x) = x . Тогда по формуле (18)
                                        ( x + ∆x ) − x 0             ∆x 
        dy = dx = ( x 0 ) ′∆x =  lim 0                   ∆x =  lim      ∆x = 1∆x = ∆x.
                                 ∆x → 0       ∆x               ∆x →0 ∆x 


                                                                                               67