Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

69
.)()()( xxfxfxxf
∆
′
+
≈
∆+ (20)
Абсолютная погрешность при такой замене равна dyy −∆ и является
при 0→∆
x
бесконечно малой более высокого порядка, чем .
x
∆
Пример 59. Найти дифференциал dy и приращение y∆ функции
:
2
xy =
1) при произвольных значениях
x
и ;
x
∆
2) при ,20=
x
.1,0=∆
x
Р е ш е н и е.
1) ,2)(
222
xxxxxxy ∆+∆=−∆+=∆
.2)(
2
xxxdy ∆=
′
=
2) Если ,20=
x
,1,0=∆
x
то ,01,4)1,0(1,0202
2
=+⋅⋅=∆y
.00,41,0202 =
⋅
⋅=dy
Погрешность при замене y
∆
на dy равна 0,01. Во многих случаях её
можно считать малой по сравнению с 01,4
=
∆
y и ею пренебречь. Рассмотрен-
ная задача наглядно иллюстрируется на рисунке 26.
Пример 60.
Вычислить приближённое значение .46sin °
Р е ш е н и е. Пусть ,sin)(
x
x
f
=
тогда .cos)( xxf
=
′
В этом случае приближённое равенство примет вид:
.cossin)(sin
x
x
x
x
x
∆
+
≈
∆+ (20
′
)
Вычислим приближённое значение .46sin ° Положим
4
π
=x (что соответству-
ет углу в 45
0
),
180
π
=∆x (соответствует углу в 1
0
), .
1804
π
+
π
=∆+ xx Подставляя
в (20′), будем иметь:
4
cos
1804
sin
1804
sin46sin
ππ
+
π
≈
π
+
π
=°
или
Рис
у
нок 26
x
x
∆
x
x
2
x
∆
x
∆
x
x
∆
                            f ( x + ∆x) ≈ f ( x) + f ′( x)∆x.               (20)

      Абсолютная погрешность при такой замене равна ∆y − dy и является
при ∆x → 0 бесконечно малой более высокого порядка, чем ∆x.
       Пример 59. Найти            дифференциал dy и приращение ∆y функции
y = x2 :
       1) при произвольных значениях x и ∆x;
       2) при x = 20, ∆x = 0,1.
       Р е ш е н и е.
       1) ∆y = ( x + ∆x) 2 − x 2 = 2 x∆x + ∆x 2 ,
         dy = ( x 2 ) ′ = 2 x∆x.
       2) Если x = 20, ∆x = 0,1, то ∆y = 2 ⋅ 20 ⋅ 0,1 + (0,1) 2 = 4,01,
          dy = 2 ⋅ 20 ⋅ 0,1 = 4,00.
       Погрешность при замене ∆y на dy равна 0,01. Во многих случаях её
можно считать малой по сравнению с ∆y = 4,01 и ею пренебречь. Рассмотрен-
ная задача наглядно иллюстрируется на рисунке 26.
                                    x∆x         ∆x
                                                                ∆x

                                        x2                      x∆x


                                          x
                                 Рисунок 26
       Пример 60. Вычислить приближённое значение sin 46°.
       Р е ш е н и е. Пусть f ( x) = sin x, тогда f ′( x) = cos x.
       В этом случае приближённое равенство примет вид:

                         sin ( x + ∆x) ≈ sin x + cos x∆x.                  (20′)
                                                              π
 Вычислим приближённое значение sin 46°. Положим x =            (что соответству-
                                                              4
                         π                                    π    π
ет углу в 450), ∆x =       (соответствует углу в 10), x + ∆x = +     . Подставляя
                       180                                    4 180
в (20′), будем иметь:
                      π    π       π   π      π
        sin 46° = sin  +      ≈ sin +     cos
                       4 180       4 180      4
или

                                                                              69

Страницы