Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

71
16 Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и
частного двух функций
Теорема 39. Если функции u = u(x) и v = v(x) дифференцируемы в точ-
ке х, то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное – при
условии, что 0)( ≠
x
v
) также дифференцируемы в этой точке и имеют место
следующие формулы:
vuvu
′
±
′
=
′
± )( ,vuvuvu
′
+
′
=
′
⋅
)( ,
2
v
vuvu
v
u
′
−
′
=
′
. (21)
Доказательство: Для вывода формул (21) воспользуемся опре-
делением производной, равенством y
x
f
x
x
f
∆
+
=
∆
+
)()( и теоремой (23, 24,
25) . Тогда получим:
;limlim
)()(
lim
)()(
lim
)()()()(
lim
)]()([)]()([
lim)(
00
000
0
vu
x
v
x
u
x
xvxxv
x
xuxxu
x
xvxxv
x
xuxxu
x
xvxuxxvxxu
vu
xx
xxx
x
′
+
′
=
∆
∆
+
∆
∆
=
=
∆
−∆+
+
∆
−∆+
=
∆
−∆+
+
∆
−∆+
=
=
∆
∆
+∆+
=
′
+
→∆→∆
→∆→∆→∆
→∆
,0limlimlimlim
)()(lim
)()()()()()(
lim
)()(])(][)([
lim
)()()()(
lim)(
0000
00
00
vuvuuvuuv
x
u
v
x
v
u
x
u
v
x
u
v
x
v
xu
x
u
xv
x
xvxuvuvxuxuvxvxu
x
xvxuvxvuxu
x
xvxuxxvxxu
uv
xxxx
xx
xx
′
+
′
=
′
⋅+
′
+
′
=
∆
∆
∆+
∆
∆
+
∆
∆
=
=
∆
∆
∆+
∆
∆
+
∆
∆
=
∆
−∆∆+∆+∆+
=
=
∆
−∆
+
∆
+
=
∆
−
∆+∆
+
=
′
→∆→∆→∆→∆
→∆→∆
→∆→∆
так как
,0lim
0
=
∆
→∆
v
x
а множители u и v не зависят от ;
x
∆
.
lim
limlim
lim
)(
lim
])()[(
])()[()(])([
lim
)()(
)()()()(
lim
)(
)(
)(
)(
lim
2
0
2
00
2
0
00
00
v
vuvu
vvv
x
v
u
x
u
v
vvv
x
v
u
x
u
v
vvxv
vuuvuvuv
vxvxxv
vxvxuxvuxu
xvxxxv
xxvxuxvxxu
x
xv
xu
xxv
xxu
v
u
x
xx
x
xx
xx
′
−
′
=
∆+
∆
∆
−
∆
∆
=
∆+
∆
∆
−
∆
∆
=
=
∆+∆
∆−−∆+
=
∆+∆
∆+−∆+
=
=
∆+∆
∆+−∆+
=
∆
−
∆+
∆+
=
′
→∆
→∆→∆
→∆
→∆→∆
→∆→∆
     16 Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и
частного двух функций

        Теорема 39. Если функции u = u(x) и v = v(x) дифференцируемы в точ-
ке х, то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное – при
условии, что v( x) ≠ 0 ) также дифференцируемы в этой точке и имеют место
следующие формулы:
                                                                    ′
                                                                u   u ′v − uv ′
             (u ± v) ′ = u ′ ± v ′ , (u ⋅ v) ′ = u ′v + uv ′ ,   =              . (21)
                                                               v        v2
        Д о к а з а т е л ь с т в о : Для вывода формул (21) воспользуемся опре-
делением производной, равенством f ( x + ∆x) = f ( x) + ∆y и теоремой (23, 24,
25) . Тогда получим:
                         [u(x + ∆x) + v(x + ∆x)] − [u( x) + v(x)]
        (u + v)′ = lim                                            =
                   ∆x→0                    ∆x
                u( x + ∆x) − u( x) v( x + ∆x) − v( x)         u( x + ∆x) − u( x)       v(x + ∆x) − v(x)
        = lim                     +                    = lim                     + lim                  =
          ∆x→0          ∆x                 ∆x          ∆x→0           ∆x          ∆x→0        ∆x
                ∆u          ∆v
        = lim       + lim       = u′ + v′;
          ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x


                     u(x +∆x)v(x +∆x) − u(x)v(x)       [u(x) +∆u][v(x) + ∆v] − u(x)v(x)
         (uv)′ = lim                             = lim                                  =
                ∆x→0              ∆x              ∆x→0               ∆x
                u(x)v(x) + ∆uv(x) +u(x)∆v +∆u∆v − u(x)v(x)        ∆u            ∆v      ∆u
         = lim                                             = lim v(x) +u(x) +∆v =
          ∆x→0                       ∆x                      ∆x→0    ∆x         ∆x      ∆x 
                  ∆u          ∆v             ∆u
         = v lim + u lim + lim∆v lim =vu′ + uv′ + 0⋅ u′ = u′v + uv′,
             ∆x→0 ∆x     ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x→0 ∆x
         так как lim ∆v = 0, а множители u и v не зависят от ∆x;
                    ∆x →0
                           u ( x + ∆x ) u ( x )
              ′                          −
         u               v ( x + ∆x ) v ( x )                u ( x + ∆x )v ( x ) − u ( x )v ( x + ∆x )
           = lim                                  = lim                                                =
         v       ∆x → 0           ∆x                  ∆x → 0          ∆xv ( x + ∆x )v ( x )
                  [u ( x ) + ∆u ]v ( x ) − u ( x )[ v ( x ) + ∆v ]           uv + ∆uv − uv − u∆v
         = lim                                                      = lim                                =
           ∆x → 0            ∆xv ( x )[ v ( x ) + ∆v ]                ∆x → 0       ∆xv (v + ∆v )
                    ∆u          ∆v                ∆u                ∆v
                  v       −u           v lim            − u lim
                                                                            u ′v − uv ′
         = lim ∆2x              ∆ x = ∆x → 0 ∆ x             ∆x → 0 ∆ x
                                                                         =               .
           ∆x → 0 v + v∆ v                     v 2 + v lim ∆v                   v2
                                                        ∆x → 0




                                                                                                             71

Страницы