Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

73
Запись
k
n
C
означает число сочетаний из n элементов по
k
элементов и
определяется следующей формулой:
.
!)!(
!
kkn
n
C
k
n
−
=
в) Показатели степени при a в каждом следующем члене разложения на
единицу меньше, чем в предыдущем, показатели степени при b – на единицу
больше. Сумма показателей степени при a и b в каждом члене разложения рав-
на n.
г) Коэффициенты разложения, одинаково удалённые от нулевого и от
−n го члена разложения, равны, так как
.
kn
n
k
n
CC
−
=
Используя формулу бинома Ньютона, можно записать:
.)(...)(
!2
)1(
])(...)(
!2
)1(
[)(
221
221
nnn
nnnnnnn
xxx
nn
xnx
xxxx
nn
xnxxxxxy
∆++∆
−
+∆=
=−∆++∆
−
+∆+=−∆+=∆
−−
−−
Таким образом, при 0≠∆
x
имеем:
.)(...
!2
)1(
121 −−−
∆++∆
+
+=
∆
∆
nnn
xxx
nn
nx
x
y
Так как
,0lim
0
=
∆
→∆
x
x
,0)(lim
2
0
=∆
→∆
x
x
…,
,0)(lim
1
0
=∆
−
→∆
n
x
x
то
.lim
1
0
−
→∆
=
∆
∆
=
′
n
x
nx
x
y
y Ч.т.д.
17.3 Производные тригонометрических функций
Производная функции
x
y sin
=
выражается формулой
.cos xy
=
′
(24)
Доказательство: Имеем
).2/(cos)2/(sin2sin)sin(
x
x
x
x
x
x
y
∆
∆
=
∆+=∆
Таким образом, при 0≠∆
x
).2/cos(
2
/
)2/sin()2/cos()2/sin(2
xx
x
x
x
xxx
x
y
∆+
∆
∆
=
∆
∆+∆
=
∆
∆
Так как
1
2
/
)2/sin(
lim
0
=
∆
∆
→∆
x
x
x
(первый замечательный предел), а
xxx
x
cos)2/cos(lim
0
=∆+
→∆
в силу непрерывности функции cos x, то 
      Запись C nk означает число сочетаний из n элементов по k элементов и
определяется следующей формулой:

                                                          n!
                                             C nk =                .
                                                      (n − k )! k!

       в) Показатели степени при a в каждом следующем члене разложения на
единицу меньше, чем в предыдущем, показатели степени при b – на единицу
больше. Сумма показателей степени при a и b в каждом члене разложения рав-
на n.
       г) Коэффициенты разложения, одинаково удалённые от нулевого и от
n − го члена разложения, равны, так как C nk = C nn − k .
        Используя формулу бинома Ньютона, можно записать:
                                                     n(n − 1) n − 2
       ∆y = ( x + ∆x) n − x n = [ x n + nx n −1 ∆x +         x (∆x) 2 + ... + (∆x) n ] − x n =
                                                        2!
                          n(n − 1) n − 2
           = nx n −1 ∆x +          x (∆x) 2 + ... + (∆x) n .
                             2!

        Таким образом, при ∆x ≠ 0 имеем:
         ∆y             n(n + 1) n − 2
            = nx n −1 +         x ∆x + ... + (∆x) n −1 .
         ∆x                2!
        Так как lim ∆x = 0, lim (∆x) 2 = 0, …, lim (∆x) n −1 = 0, то
                  ∆x →0         ∆x →0                        ∆x →0
                     ∆y
          y ′ = lim     = nx n −1 . Ч.т.д.
               ∆x →0 ∆x



        17.3 Производные тригонометрических функций

        Производная функции y = sin x выражается формулой

                                        y ′ = cos x.                                   (24)

       Д о к а з а т е л ь с т в о : Имеем
        ∆y = sin(x + ∆x) − sin x = 2 sin (∆x / 2) cos(x + ∆x / 2).
       Таким образом, при ∆x ≠ 0
       ∆y 2 sin(∆x / 2) cos( x + ∆x / 2) sin(∆x / 2)
            =                                    =               cos( x + ∆x / 2).
       ∆x                    ∆x                       ∆x / 2
                                sin(∆x / 2)
       Так как            lim                 = 1 (первый замечательный предел), а
                         ∆x →0     ∆x / 2
 lim cos( x + ∆x / 2) = cos x в силу непрерывности функции cos x, то
∆x →0




                                                                                          73

Страницы